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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index b29cb9a..7b37e3c 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -34,12 +34,28 @@ Zu beachten ist hier die Ungültigkeit der Assoziativ- und Distributivgesetze. \subsection*{Kondition mathematischer Probleme} +Ein mathematisches Problem $(f,x)$ ist die Auswertung von $f(x)$ an $x \in E$ wobei $f : E \subset X \to R \subset Y$. + +$X$ und $Y$ sind normierte Räume, $E$ Menge der Eingaben, $R$ Menge der Resultate. + +Ein Algorithmus für $f$ ist Abbildung $\tilde f : E \subset X \to Y$ s.d. $\tilde f(x)$ in endlich vielen Schritten auswertbar ist und $\tilde f(x) \approx f(x)$ gilt. + Die Konditionszahl eines mathematischen Problems $(f, x)$ ist die kleinste Zahl $\kappa_f(x) \geq 0$ mit: \vspace*{-4mm} $$\frac{\|f(x + \Delta x) - f(x) \|_Y}{\|f(x)\|_Y} \leq \kappa_f(x) \frac{\|\Delta x\|_X}{\|x\|_X} + o(\|\Delta x \|_X)$$ -Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert für \emph{kleine} und schlecht konditioniert für \emph{große} Konditionszahlen $\kappa_f(x)$. +Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. + +\vspace*{-4mm} +$$\kappa_f(x) = \limsup_{\delta \to 0} \left\{ \frac{\|f(x+\Delta x) - f(x)\|_Y \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y \|\Delta x\}_X} \right\}$$ + +Für $\Delta x \in X$, $x + \Delta x \in E$, $\|\Delta x\|_X \leq \delta$. + +Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert für \emph{kleine} und schlecht konditioniert für \emph{große} Konditionszahlen $\kappa_f(x)$. + +Existiert $\limsup$ nicht wird $\kappa_f(x)=\infty$ gesetzt und das Problem als \emph{schlecht gestellt} bezeichnet. + \subsubsection*{Kondition stetig differenzierbarer Fkt.} |