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diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index 131bf0a..302f654 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -241,6 +241,41 @@ Sei $S$ eine Menge. $F$ ist eine \emph{freie Gruppe über $S$} mit Abbildung $f \section*{Gruppenoperationen} +Sei $(G,*)$ Gruppe, $M$ Menge. + +$\circ : G \times M \rightarrow M$ ist Gruppenoperation, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall m \in M : e_G \circ m = m$ + \item $\forall m \in M, g_1, g_2 \in G : g_1 \circ ( g_2 \circ m ) = ( g_1 * g_2 ) \circ m$ +\end{enumerate} + +Es gilt: $\forall \Phi \in Hom(G,Sym(M)) : g \circ m := \Phi(g)(m)$ ist Operation von $G$ auf $M$. + +Für jede Operation $\circ$ von $G$ auf $M$ ex. ein $\Phi \in Hom(G,M)$ s.d. $\circ$ so konstruiert werden kann. + +\subsection*{Bahnen} + +Auf $M$ definiert $m_1 \sim m_2 := \exists g \in G : m_1 = g \circ m_2$ eine Äquivalenzrelation. + +Ihre Äquivalenzklassen werden \emph{Bahnen} oder \emph{Orbiten} genannt. d.h. $G \circ m = \{ g \circ m | g \in G \}$ ist Bahn. + +\subsubsection*{Transitivität} + +Operation mit genau einer Bahn heißt \emph{transitiv}. d.h. $\exists m_0 \in M \forall m \in M \exists g \in G : m = g \circ m_0$. + +\subsubsection*{Stabilisator} + +$Stab_G(m) := \{ g \in G | g \circ m = m \}$ ist Stab. von $m$ in $G$. + +\emph{Fixpunkt} von $G$ auf $M$ ist $m \in M$: $Stab_G(m) = G$. + +\subsubsection*{Bahnbilanzformel} + +Sei $G$ auf endlichem $M$ operierende Gruppe und $R \subseteq M$ ein Vertretersystem der Bahnen. Dann: + +$\#M = \sum_{r \in R} (G : Stab_G(r))$ + \section*{Sylowsätze} \section*{Ringe} @@ -250,3 +285,5 @@ Sei $S$ eine Menge. $F$ ist eine \emph{freie Gruppe über $S$} mit Abbildung $f \section*{Ideale} \section*{Magmen} + +\section*{Chinesischer Restsatz} |