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diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex index 924590e..d849860 100644 --- a/numerik_1.tex +++ b/numerik_1.tex @@ -114,6 +114,10 @@ Insbesondere sind solche $A$ regulär. $A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\forall x \in \R^n \setminus \{0\} : x^TAx > 0$. +\subsection*{Hessenberg-Matrizen} + +Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetzt sein kann. + \section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} \subsection*{Cramersche Regel} @@ -212,6 +216,29 @@ $$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} Wobei $c$ das Diagonalelement der $l$-ten und $k$-ten Zeile, $s$ $k$-tes Element der $l$-ten Zeile, $-s$ $l$-tes Element der $k$-ten Zeile. +Givens-Rotationen sind orthogonal, $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. + +\vspace{-4mm} +$$(G(l,k)x)_i = \begin{cases} + cx_l + sx_k & i=l \\ + -sx_l + cx_k & i=k \\ + x_i & \text{sonst} +\end{cases}$$ + +$\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$ ist Rotation um $\varphi$ in Ebene $spann\{e_l,e_k\}$. + +Ziel: $k$-te Komponente von $x$ nullen für $x_l^2+x_k^2 \neq 0$. + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + |x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\ + |x_l| \leq |x_k| : &\tau := \frac{x_l}{x_k}, s := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, c := s\tau +\end{align*} + +Mit einer solchen Givens-Rotation können einzelne Matrixelemente genullt und $A \in \R^{m \times n}$ so sukzessive in eine obere Dreiecksmatrix transformiert werden. + +QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen. + \section*{Lineare Ausgleichsprobleme} \section*{Iterative Verfahren zur LGS Lösung} |