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Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert für \emph{kleine} und schlecht konditioniert für \emph{große} Konditionszahlen $\kappa_f(x)$. + +\subsubsection*{Kondition stetig differenzierbarer Fkt.} + +Für $f \in C^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: + +\vspace*{-2mm} +$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\| \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ + +\section*{Vektor- und Matrixnormen} + +\subsection*{Induzierte Matrixnorm / Operatornorm} + +Für Normen $\| \cdot \|_\circ$, $\| \cdot \|_\star$ auf $\K^n$ bzw. $\K^m$ ist eine Matrixnorm $\| \cdot \| : \K^{m \times n} \rightarrow [0,\infty)$ auf dem Vektorraum der $m \times n$-Matrizen definiert: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\| := \max_{v \in \K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_\star}{\|v\|_\circ} = \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_\circ = 1 \}} \|Av\|_\star$$ + +\subsubsection*{Eigenschaften} + +Für $A \in \K^{m \times n}$ gilt $\forall v \in \K^n : \|Av\|_\star \leq \|A\| \cdot \|v\|_\circ$ + +Submultiplikativität: $\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$ + +\subsubsection*{Matrix-$p$-Normen} + +Induzierte Matrixnorm bei Wahl der $p$-Normen über $\K^n$ bzw. $\K^m$: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_p := \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_p = 1 \}} \|Av\|_p \text{ für } 1 \leq p \leq \infty$$ + +\subsubsection*{Spaltensummennorm} + +Für $A = (a_1, \cdots, a_n)$ mit $a_j \in \K^m$: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \|a_j\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|$$ + +\subsubsection*{Zeilensummennorm} + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|$$ + +\subsubsection*{Spektralnorm} + +Die Matrix-$2$-Norm wird so genannt, da $\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^H A)}$ für $\lambda_{max}(A^H A)$ als Bezeichner des größten Eigenwerts von $A^H A \in \K^{n \times n}$. + +$\|A\|_2 = \|A^H\|_2$, $\|A^H A\|_2 = \|A\|_2^2$ + +$\|Q A\|_2 = \|A\|_2$ für unitäre $Q$. + +\subsection*{Induzierte Normen} + +Für $A \in \R^{n \times n}$ mit $A > 0$ ist $\skp{z,z}_A := \skp{Az,z}_2$ ein Skalarprodukt auf $\R^n$. Dieses induziert die Energienorm $\|z\|_A = \sqrt{\skp{z,z}_A}$. + +\subsection*{Kondition einer Matrix} + +Für $A \in \K^{n \times n} \in GL_n{\R}$, $\|\cdot\|$ induzierte Matrixnorm: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +\kappa(A) &= \|A\| \cdot \|A^{-1}\| \\ +1 = \|Id\| = \|AA^{-1}\| &\leq \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = \kappa(A) +\end{align*} + +\section*{Besondere Matrizen} + +\subsection*{Diagonaldominante Matrizen} + +$A \in \R^{n \times n}$ ist diagonaldominant, falls: + +$\forall i \in \{1,\cdots,n\} : |a_{i,i}| > \sum_{j=1,j\neq i}^n |a_{i,j}|$ + +Insbesondere sind solche $A$ regulär. Gilt nur $\geq$ so heißt die Matrix schwach diagonaldominant. + +\subsection*{Positiv definite Matrizen} + +$A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\forall x \in \R^n \setminus \{0\} : x^TAx > 0$. + +\subsection*{Hessenberg-Matrizen} + +Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetzt sein kann. + +\section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} + +\subsection*{Cramersche Regel} + +Sei $A = (a_{i,j})_{ij} \in GL_n(\R)$, $b \in \R^n$, $A[j] = (a_1, \cdots, a_{j-1}, b, a_{j+1}, \cdots, a_n) \in \R^{n \times n}$, $a_k$ k-ter Spaltenvektor von $A$. Dann bildet $x_j = \frac{det(A[j])}{det(A)}$ für $j = 1, \cdots, n$ die eindeutige Lösung $x \in \R^n$ s.d. $Ax=b$. + +Aufgrund des hohen Aufwands von allg. mehr als $(n+1)!$ arithmetischen Operationen ist die Cramersche Regel nur von theoretischer Bedeutung. + +\subsection*{Lösung gestaffelter Systeme} + +Obere Dreicksmatrizen können mittels Rückwärtssubstitution, untere Dreiecksmatrizen mittels Vorwärtssubstitution in $\mathcal{O}(n^2)$ gelöst werden. + +\subsection*{LR-Zerlegung} + +$A = LR$ wobei $L$ untere Dreiecksmatrix mit $1$-Diagonale und $R$ obere Dreicksmatrix. + +\subsubsection*{Berechnung LR-Zerlegung} + +Die LR-Zerlegung existiert insofern die Diagonaleinträge nicht verschwinden. Insbesondere gilt dies für diagonaldominante Matrizen. + +\begin{enumerate} + \item Spaltenweises nullen der der unteren Einträge mittels \emph{Gauß}, Matrizen $L_1, \cdots, L_{n-1}$ + \item $L = L_1^{-1} \cdots L_{n-1}^{-1}$, $R=L_{n-1} \cdots L_1 A$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Lösung $Ax=b$ mittels LR-Zerlegung} + +\begin{enumerate} + \item $A=LR$ berechnen + \item $Lz=b$ Vorwärtssubstitution + \item $Rx=z$ Rückwärtssubstitution +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Spaltenpivotsuche} + +Die normale LR-Zerlegung ist nur Vorwärts- und nicht Rückwärtsstabil. Dies kann durch Spaltenpivotsuche verbessert werden. Hier wird in jedem Schritt mittels einer Permutationsmatrix immer mit der größten verbleibenden Zeile eliminiert. + +\vspace{1mm} + +Für alle regulären Matrizen existiert eine Spaltenpivotsuchen LR-Zerlegung so, dass $PA=LR$. + +\subsection*{Cholesky-Zerlegung} + +Für $A > 0$ existiert untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiver Diagonale, so dass $A = LL^T$ + +\subsection*{QR-Faktorisierung} + +Für alle $A \in \R^{m \times n}$ mit $m \geq n$ und $Rang(A)=n$ existiert $A=QR$ mit unitärem $Q \in \R^{m \times m}$ und injektiver oberer Dreiecksmatrix $R$. + +\subsubsection*{Householder-Reflexionen} + +$$H(v) := Id_m - 2 \frac{vv^T}{v^Tv} = Id_m - 2 \frac{vv^T}{\|v\|_2^2} \text{ für } \forall v \in \R^m \setminus \{0\}$$ + +Solche Householder-Reflexionen $H(v)$ sind orthogonal, d.h. $H(v)^T=H(v)$ und $H(v)^2=Id_m$. + +Wegen $H(v)v=v-2v=-v$ und $\forall w \in spann\{v\}^\perp : H(w)w=w$ ist $H(v)$ Spiegelung an der Hyperebene $spann\{v\}^\perp$. + +Solche Reflexionen können durch wiederholte Anwendung Matrizen in obere Dreiecksgestalt überführen: + +\vspace{1mm} + +Gesucht ist $v \in \R^m$ für $y \in \R^m$ s.d.: + +\vspace{-2mm} +$$H(v)y=y - 2 \frac{\skp{v,y}}{\|v\|_2^2}v \overset{!}{=} \alpha e_1$$ + +Vermeidung von Auslöschung: $\alpha := -sign(y_1)\|y\|_2$ + +Es ergibt sich mit $v:=y-\alpha e_1$: $H(y-\alpha e_1)y=\alpha e_1$. + +\vspace{1mm} + +Seien $Q_k$ die sukzessiven, auf $m \times m$ erweiterten, Householder-Reflexionen. Dann gilt: + +\vspace{1mm} + +$R:=Q_p \cdots Q_1 A$, $Q:=Q_1^T \cdots Q_p^T$ s.d. $A=QR$. + +\subsubsection*{Givens-Rotationen} + +Mit $c^2 + s^2 = 1, c, s \in \R$ und $l < k$: + +$$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} +1 & & & & & & & & & & \\ + & \diagdown & & & & & & & & & \\ + & & 1 & & & & & & & & \\ + & & & c & & & & s & & & \\ + & & & & 1 & & & & & & \\ + & & & & & \diagdown & & & & & \\ + & & & & & & 1 & & & & \\ + & & & -s & & & & c & & & \\ + & & & & & & & & 1 & & \\ + & & & & & & & & & \diagdown & \\ + & & & & & & & & & & 1 +\end{smallmatrix}\right)$$ + +Wobei $c$ das Diagonalelement der $l$-ten und $k$-ten Zeile, $s$ $k$-tes Element der $l$-ten Zeile, $-s$ $l$-tes Element der $k$-ten Zeile. + +Givens-Rotationen sind orthogonal, $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. + +\vspace{-4mm} +$$(G(l,k)x)_i = \begin{cases} + cx_l + sx_k & i=l \\ + -sx_l + cx_k & i=k \\ + x_i & \text{sonst} +\end{cases}$$ + +$\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$ ist Rotation um $\varphi$ in Ebene $spann\{e_l,e_k\}$. + +Ziel: $k$-te Komponente von $x$ nullen für $x_l^2+x_k^2 \neq 0$. + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + |x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\ + |x_l| \leq |x_k| : &\tau := \frac{x_l}{x_k}, s := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, c := s\tau +\end{align*} + +Mit einer solchen Givens-Rotation können einzelne Matrixelemente genullt und $A \in \R^{m \times n}$ so sukzessive in eine obere Dreiecksmatrix transformiert werden. + +QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen. + +\section*{Lineare Ausgleichsprobleme} + +Finde $u^* \in \R^n$: $\|Au^*-b\|_2 = \min_{u\in \R^n} \|Au-b\|_2$ + +Es sind äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $u^*$ löst Ausgleichsproblem + \item $u^*$ löst Normalengleichung $A^TAu^*=A^Tb$ + \item $u^*$ erfüllt $Au^* = P_Ab$ mit Ortogonalprojekt. $P_A : \R^m \rightarrow \R^m$ auf Bild von $A$ +\end{enumerate} + +Das Residuum $Au^*-b$ steht normal zu Bild von $A$. + +Ein Ausgleichsproblem ist eindeutig lösbar gdw. $Kern(A) = \{0\}$. + +Die Lösung mit minimaler euklidischer Norm wird Minimum-Norm-Lösung $u^+$ genannt. + +\subsection*{Singulärwertzerlegung} + +Sei $A \in \R^{m \times n}$ mit $r=Rang(A) \leq \min\{m,n\}$. + +Dann existiert $A=USV^T$ mit orthogonalen $U \in \R^{m \times m}$, $V \in \R^{n \times n}$ sowie Diagonalmatrix $S \in \R^{m \times n}$. + +\section*{Iterative Verfahren zur LGS Lösung} + +Ein iteratives Verfahren zur Lösung von $Au=b$ liefert zu Startvektor $u^0 \in \R^n$ eine Folge $\{u^k\}_{k\in \N_0} \subset \R^n$ mittels $\Psi_k : (\R^n)^{k+1} \rightarrow \R^n$ durch $u^{k+1} = \Psi_k(u^0, \cdots, u^k)$. + +Ein Verfahren konvergiert falls $\forall u^0 \in \R^n$, $b \in \R^n : \lim_{k\to \infty} u^k = A^{-1}b$ + +\subsection*{Abbruchkriterium} + +Direkte Löser liefern bei exakter Arithmetik nach endlich vielen Schritten $A^{-1}b$. Bei iterativen Lösern gilt im allg. $\forall k \in \N : u^k \neq A^{-1}b$. + +Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder das relative Residuum von $u^m$: $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$ + +\subsection*{Lineare Iterationsverfahren} + +$u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k) = (Id - NA)u^k + Nb$ zu $u^0 \in \R^n$ wobei $N \in GL_n(\R)$ das jeweilige Verfahren charakterisiert. + +$M := Id - NA$ heißt Iterationsmarix. + +\subsubsection*{Spektralradius} + +$\varrho(M) = \max\{|\lambda| : \lambda \in Spec(M)\}$ + +\subsubsection*{Konvergenz} + +Ein lineares Iterationsverfahren konvergiert gdw. Spektralradius von $M$ $\varrho(M) < 1$. + +Ist $\|M\| < 1$ für induzierte Matrixnorm $\|\cdot\|$ dann konvergiert das entsprechende lineare Iterationsverfahren ebenso. + +Sind $A$ oder $A^T$ diagonaldominant so konvergieren sowohl das Jacobi- als auch das Gauß-Seidel-Verfahren. + +\subsubsection*{Gesamtschritt- / Jacobi-Verfahren} + +$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{i,j} u_j^k \right) \text{ für } i = 1, \cdots, n$$ + +Für $A = D - L - R$: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + u^{k+1} &= u^k + D^{-1}(b-Au^k) \\ + &= (Id - D^{-1}A)u^k + D^{-1}b +\end{align*} + +Also: $M^{Jac} = Id - D^{-1}A = D^{-1}(L+R)$, $N^{Jac} = D^{-1}$ + +\subsubsection*{Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren} + +$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} u_j^{k+1} - \sum_{j=i}^n a_{i,j} u_j^k \right)$$ + +Für $A = D - L - R$: + +$M^{GS} = (D - L)^{-1}R$, $N^{GS} = (D - L)^{-1}$. + +\subsection*{Krylov-Raum-Verfahren} + +Der Krylov-Raum $m$-ter Ordnung bzgl. $B$ und $v$: + +\vspace{-4mm} +$$\mathcal{U}_m(B,v) := spann\{v,Bv,B^2v, \cdots, B^{m-1}v\} \subset \R^n$$ + +Das Residuuum der $k$-ten Iterierten $u^k$: + +\vspace{-2mm} +$$r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0$$ + +Es gilt: $u^k \in u^0 + V_k$ mit $V_k = \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$. + +Minimaleigenschaft der $k$-ten Iterierten bzgl. Norm $\|\cdot\|_\star$ auf $\R^n$: + +\vspace{-2mm} +$$u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\}$$ + +Ein Krylov-Raum-Verfahren bzgl. einer Norm $\|\cdot\|_\star$ ist nur dann sinnvoll, wenn $u^k$ mit geringem, d.h. im Bereich von zwei Matrix-Vektormultiplikationen liegendem, numerischen Aufwand aus $u^{k-1}$ hervorgeht. + +\subsection*{Vorkonditionierer} + +Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \approx A^{-1}$ möglichst gelten. + +\subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} + +Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$. + +\subsection*{CG-Verfahren} + +Das Verfahren der konjugierten Gradienten ist durch die Energienorm charakterisiert und definiert als: + +\vspace{-2mm} +$$u^k = argmin\{\|v-A^{-1}b\|_A : v \in V_k\}$$ + +Für positiv definite $A, N \in \R^{n \times n}$ sowie $b \in \R^n$ liefert das CG-Verfahren nach spätestens $n$ Schritten $A^{-1}b$. Eigentlich ist es bei exakter Arithmetik also ein direkter Verfahren, wird aber durch früheren Abbruch als iteratives Verfahren verwendet. + +\subsection*{GMRES-Verfahren} + +Das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuum liefert die Lösung $Ax=b$ für $A \in GL_n(\R)$ und ist charakterisiert durch: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + u^k :&= argmin\{\|N(b-Av)\|_2 : v \in V_k\} \\ + &= argmin\{\|NA(A^{-1}b-v)\|_2 : v \in V_k\} +\end{align*} + +Das GMRES-Verfahren ist also durch die nicht Skalarprodukt-induzierte Norm $\|NA\cdot\|_2$ induziert. + +\section*{Interpolation} + +Interpolation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\varphi(t_i) = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots, n$. Approximation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\|\varphi - f\|$ möglichst klein in geeigneter Norm. + +\subsection*{Klassische Polynom-Interpolation} + +Zu gegebenen Knoten $t_0 < \cdots < t_n$ und Stützwerten $f_i = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots,n$ wird Polynom $ \in \Pi_n$ gesucht s.d. $P(t_i)=f_i$ für $i = 0,\cdots,n$. + +Zu $n+1$ Stützwerten $f_i$ und paarweise verschiedenen Knoten $t_i$ existiert dabei genau ein solches Interpolationspolynom $P=P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$. + +\subsection*{Vandermonde-Matrix} + +$$\begin{pmatrix} +1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ +1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ +1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} = +\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}$$ + +Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, was jedoch sehr aufwändig ist. + +\subsection*{Lagrange-Basis} + +Basis $\{L_{n,0},\cdots,L_{n,n}\}$ von $\Pi_n$ abhg. $t_0 < \cdots < t_n$ wg. $L_{n,k}(t_i) = \delta_{k,i} = \begin{cases}1 & k=i \\ 0 & sonst\end{cases}$ + +$$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$ + +Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$ + +\vspace{2mm} + +Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an. + +\subsubsection*{Lemma von Aitken} + +$P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$ +\vspace{-2mm} +$$\frac{(t_0-t)P(f|t_i,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ + +\subsubsection*{Schema von Neville} + +Sei $t \in \R$ fest, $P_{i,k}(t)=P_{i,k}=P(f|t_{i-k},\cdots,t_i)(t)$ für $i\geq k$. Dann ist insb. $P_{i,0}=f_i$ und $P_{n,n}=P(f|t_0,\cdots,t_n)(t)$ kann rekursiv mit dem \emph{Schema von Neville} berechnet werden: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} +P_{i,k} &= \frac{(t_{i-k}-t)P_{i,k-1} - (t_i-t)P_{i-1,k-1}}{t_{i-k}-t_i} \\ + &= \frac{t-t_{i-k}}{t_i-t_{i-k}} P_{i,k-1} - \frac{t-t_i}{t_i-t_{i-k}} P_{i-1,k-1} +\end{align*} + +\subsection*{Tschebyscheff-Knoten} + +Für $i = 0,\cdots,n$: + +\vspace{-2mm} +$$t_i^{[a,b]} = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{2i+1}{2n+2} \pi\right)$$ + +Diese Knotenfolge liegt dichter zu den Intervallgrenzen hin und ergibt eine bessere Interpolation als äquidistante Knoten. + +\subsection*{Satz von Faber} + +Zu jeder Folge von Knoten $\{t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)}\}_{n \in \N}$ in $[a,b]$ gibt es ein $f \in C([a,b])$ so, dass $\{P(f|t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)})\}_{n \in \N}$ für $n \to \infty$ nicht glm. gegen $f$ konvergiert. + +\section*{Splines} |