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diff --git a/content/numerik_2.tex b/content/numerik_2.tex index 22780e6..fc186d4 100644 --- a/content/numerik_2.tex +++ b/content/numerik_2.tex @@ -420,13 +420,48 @@ Sind die Knoten äquidistant mit $t_i = a + ih, \ h=\frac{b-a}{n}$, heißen die \vspace*{-2mm} $$\lambda_{n,i} = \frac{1}{b-a} \int_a^b \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{t-t_j}{t_i-t_j} \text{d}t$$ -{\def\arraystretch{1.6} -\begin{tabular}{ l | l | l | l } -$n$ & Gewichte & Fehler & Regel \\ -\hline -1 & $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ & $\frac{h^3}{12}f''(\tau)$ & Trapez \\ -2 & $\frac{1}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{1}{6}$ & $\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\tau)$ & Simpson \\ -3 & $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{8}$ & $\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\tau)$ & $3/8$ \\ -4 & $\frac{7}{90}$, $\frac{32}{90}$, $\frac{12}{90}$, $\frac{32}{90}$, $\frac{7}{90}$ & $\frac{8h^7}{945}f^{(6)}(\tau)$ & Milne -\end{tabular} +{ + \def\arraystretch{1.6} + \begin{tabular}{ l | l | l | l } + $n$ & Gewichte & Fehler & Regel \\ + \hline + 1 & $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$ & $\frac{h^3}{12}f''(\tau)$ & Trapez \\ + 2 & $\frac{1}{6}$, $\frac{4}{6}$, $\frac{1}{6}$ & $\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\tau)$ & Simpson \\ + 3 & $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{8}$ & $\frac{3h^5}{80}f^{(4)}(\tau)$ & $3/8$ \\ + 4 & $\frac{7}{90}$, $\frac{32}{90}$, $\frac{12}{90}$, $\frac{32}{90}$, $\frac{7}{90}$ & $\frac{8h^7}{945}f^{(6)}(\tau)$ & Milne + \end{tabular} } + +\subsection*{Romberg-Quadratur} + +Die \emph{Romberg-Quadratur} wertet die Trapezsumme bzgl. einer Folge von Gittern aus und extrapoliert aus den Integralen eine bessere Approximation. + +\spacing + +Konkret wird ein interpolierendes Polynom durch Stützwerte $(h_0^2,T(h_0)),\ (h_1^2,T(h_1)),\dots,(h_m^2,T(h_m))$ gelegt und an der Null ausgewertet: + +\vspace*{-2mm} +$$P(T|h_0^2,\dots,h_m^2)(0) \approx I(f)$$ + +Da das interpolierende Polynom nur in $0$ ausgewertet wird, bietet sich das \emph{Schema von Neville} an. + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +T_{i,0} &= P(T|h_i^2) = T(h_1) \\ +T_{i,k} :&= P(T|h_{i-k}^2,h_{i-k+1}^2,\dots,h_i^2)(0) &0 \leq k \leq i \leq m \\ +&= T_{i,k-1} + \frac{T_{i,k-1}-T_{i-1,k-1}}{\frac{h_{i-k}^2}{h_i^2}-1} &1\leq k\leq i\leq m +\end{align*} + +\subsubsection*{Verkleinerung des Gitters} + +Folgen zur Verkleinerung der Grundschrittweite: + +$h_j = \frac{h_{j-1}}{2} = \frac{h}{2^j}$ mit $n_j = 2^j$ ist die \emph{Romberg-Folge}. + +\vspace*{1mm} + +$h_1 = \frac{h}{2},h_2=\frac{h}{3},h_3=\frac{h}{4},h_j=\frac{h}{n_j},\ j=4,5,\dots$ mit $n_j = 2n_{j-2}$ für $j \geq 4$ ist die \emph{Bulirsch-Folge}. + +\vspace*{1mm} + +Vorteil der Bulirsch-Folge ist, dass sie mit weitaus weniger Auswertungen der Funktion auskommt. |