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diff --git a/content/tgi.tex b/content/tgi.tex index 7ee7e3b..d677b75 100644 --- a/content/tgi.tex +++ b/content/tgi.tex @@ -1,3 +1,6 @@ +\renewcommand{\P}{\mathcal{P}} +\newcommand{\NP}{\mathcal{NP}} + \section*{Endliche Automaten} Ein \emph{deterministischer endlicher Automat} besteht aus endlichen Mengen von Zuständen, Eingabesymbolen und einer Übergangsfunktion. @@ -66,7 +69,7 @@ Ihre \emph{Gödelnummer} $\langle M \rangle$ ist definiert als: \spacing -$\mathcal{M}$ wird kodiert mit $111\text{code}_1 11\text{code}_2 11 \dots 11\text{code}_z 111$ wobei $\text{code}_i$ die $z$ Funktionswerte von $\delta$ darstellt: +$\mathcal{M}$ wird durch $111\text{code}_1 11\text{code}_2 11 \dots 11\text{code}_z 111$ kodiert, $\text{code}_i$ stellt $z$ Funktionswerte von $\delta$ dar: \spacing @@ -126,4 +129,84 @@ Semi-entscheidbare Sprachen sind abgeschlossen unter Schnitt und Vereinigung. \section*{Komplexitätsklassen} +Sind nichtdeterministische TM wesentlich effizienter als deterministische TM? $\P \neq \NP$? + +\subsection*{Nichtdeterministische Turing-Maschinen} + +Übergangsfunktion $\delta$ bietet Wahlmöglichkeiten und $\epsilon$-Übergänge vergleichbar mit NEAs. + +\subsection*{$\NP$-vollständige Probleme} + +$\P \subseteq \NP$ trivial, $\P \neq \NP$ d.h. $\P \subset \NP$ vermutet. + +\spacing + +Eine \emph{polynomiale Transformation} von $L_1 \subseteq \Sigma_1^*$ nach $L_2 \subseteq \Sigma_2^*$ ist $f : \Sigma_1^* \to \Sigma_2^*$ s.d. eine DTM mit polynomialer Laufzeit existiert, die $f$ berechnet und $\forall x \in \Sigma_1^* : x \in L_1 \iff f(x) \in L_2$. + +Geschrieben: $L_1 \propto L_2$. + +\subsubsection*{$\NP$-Vollständigkeit} + +Eine Sprache $L$ ist \emph{$\NP$-vollständig}, wenn $L \in \NP$ und $\forall L' \in \NP : L' \propto L$. + +\subsubsection*{Erfüllbarkeitsproblem (SAT)} + +Prüfe ob Belegungen von booleschen Variablen existiert s.d. gegebene Klauseln erfüllt werden. + +\spacing + +\emph{SAT} ist $\NP$-vollständig. Insb. ist \emph{3SAT} für Klauseln mit genau drei Literalen $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{Erfüllbarkeitsproblem (Max2SAT)} + +Prüfe ob Belegung ex. s.d. mind. $K$ Klauseln mit jeweils genau zwei Literalen erfüllt werden. + +\emph{Max2SAT} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{Cliquen in Graphen (CLIQUE)} + +Prüfe ob Clique der Größe mind. $K$ existiert. + +\emph{CLIQUE} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{Graphenfärbung (COLOR)} + +Prüfe ob Knotenfärbung mit max. $K$ Farben ex. + +\emph{3COLOR} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{EXACT COVER} + +Sei $X$ endl. Menge und $\mathcal{S}$ Familie von Teilmengen. + +Prüfe ob $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{S}$ ex. s.d. $\forall a \in X \exists! A \in \mathcal{S}' : a \in A$. + +\emph{EXACT COVER} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{SUBSET SUM} + +Sei $M$ endl. Menge, $w : M \to \N_0$ und $K \in \N_0$. + +Prüfe ob $M' \subseteq M$ ex. s.d. $\sum_{a \in M'} w(a) = K$. + +\emph{SUBSET SUM} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{PARTITION} + +Sei $M$ endl. Menge und $w : M \to \N_0$. + +Prüfe ob $M' \subseteq M$ ex. s.d. $\textstyle\sum\limits_{a \in M'} w(a) = \textstyle\sum\limits_{a \in M \setminus M'} w(a)$. + +\emph{PARTITION} ist $\NP$-vollständig. + +\subsubsection*{KNAPSACK} + +Sei $M$ endl. Menge, $w : M \to \N_0$ Gewichtsfkt., $c : M \to \N_0$ Kostenfkt. und $W,C \in \N_0$. + +Prüfe ob $M' \subseteq M$ existiert s.d. $\sum_{a \in M'} w(a) \leq W$ und $\sum_{a \in M'} c(a) \geq C$. + +\emph{KNAPSACK} ist $\NP$-vollständig. + +\subsection*{$\NP$-Schwere} + \section*{Chomsky-Hierarchie} |