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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 2a42329..e132dde 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -160,6 +160,11 @@ $A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\for Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetzt sein kann. +\subsection*{Neumannsche-Reihe} + +\vspace{-2mm} +$$(Id-M)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty M^k$$ + \subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$. @@ -207,7 +212,9 @@ Für alle regulären Matrizen existiert eine Spaltenpivotsuchen LR-Zerlegung so, \subsection*{Cholesky-Zerlegung} -Für $A > 0$ existiert untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiver Diagonale, so dass $A = LL^T$ +Für symmetrische $A > 0$ existiert untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiver Diagonale, so dass $A = LL^T$. + +Sym. $A > 0$ können eindeutig als $A=LDL^T$ geschrieben werden s.d. $L$ untere Dreiecksmatrix mit 1-Diagonale, $D$ positive Diagonalmatrix. $D=D^{1/2}D^{1/2}$ und $G=LD^{1/2}$ ergibt die äquivalente Zerlegung $A=GG^T$. \subsection*{QR-Faktorisierung} |