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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index e71df0b..5f2141d 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -454,3 +454,19 @@ Daraus folgt: \int_{\R^m} \mathbbm{1}_C(z) dz &= \int_{\R^k} \left( \int_{\R^l} \mathbbm{1}_C(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{\R^l} \left( \int_{\R^k} \mathbbm{1}_C(x,y) dx \right) dy \end{align*} + +\subsection*{Satz von Tonelli} + +Sei $f : \R^m \to [0,\infty]$ messbar. Dann: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + \int_{\R^m} f(z) dz &= \int_{\R^k} \left( \int_{\R^l} f(x,y) dy \right) dx\\ + &= \int_{\R^l} \left( \int_{\R^k} f(x,y) dx \right) dy +\end{align*} + +\subsection*{Satz von Fubini} + +Sei $f : \R^m \to \overline\R$ integrierbar. Dann ex. Nullmengen $M \in \B_k$ und $N \in \B_l$ s.d. $f^x : \R^l \to \overline\R$ für alle $x \in \R^k \setminus M$ und $f_y : \R^k \to \overline\R$ für alle $y \in \R^l \setminus N$ integrierbar sind. + +Dann sind $x \mapsto \int_{\R^l} f(x,y) dy$ und $y \mapsto \int_{\R^k} f(x,y) dx$ integrierbar und es gilt der Satz von Tonelli. |