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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 340ca55..059dce2 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -658,3 +658,11 @@ Seien $f, g \in \L^p(\mu)$. Dann gilt $f + g \in \L^p(\mu)$ und: \vspace{-2mm} $$\| f + g \|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$$ + +\subsection*{Satz von Riesz-Fischer} + +Sei $1 \leq p < \infty$, $(f_n)$ Cauchyfolge in $\L^p(\mu)$ bzgl. $\|\cdot\|_p$. + +Dann existieren $f, h \in \L^p(\mu)$ und Teilfolge $(f_{n_j})_j$ s.d. diese f.ü. gegen $f$ strebt, $\forall j \in \N : |f_{n_j}| \leq h$ f.ü. gilt und $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0$ gilt. + +$L^p(\mu)$ ist ein Banach-, für $p=2$ ein Hilbertraum. |