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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 059dce2..beba16b 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -257,7 +257,10 @@ Dann ist auch $|f| : x \mapsto |f(x)|$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. \subsection*{Einfache Funktionen} -Messbare $f : X \to \R$ heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt. Für $A_j := f^{-1}(\{y_j\}) \in \A$ ist $f = \sum_{j=1}^n y_j \1_{A_j}$ die Normalform von $f$. +Messbare $f : X \to \R$ heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt. Die Normalform von $f$ ist für $f^{-1}(\{y\}) \in \A$ mit $y \in f(X)$ definiert: + +\vspace{-2mm} +$$f = \sum_{y \in f(X)} y \cdot \1_{f^{-1}(\{y\})}$$ Sei $f : X \to \overline R$ messbar, dann gelten: @@ -273,20 +276,20 @@ $f : X \to \overline\R$ ist $\A$-$\overline\B_1$-mb. gdw. einfache Fkt. $f_n : X \subsection*{Integral für nichtnegative einfache Fkt.} -$$\int f d\mu = \int_X f(x) d\mu(x) := \sum_{j=1}^n y_j \mu(A_j) \in [0, \infty]$$ +$$\int f d\mu = \int_X f(x) d\mu(x) := \sum_{y \in f(X)} y \cdot \mu(f^{-1}(\{y\}))$$ \subsection*{Integral für nichtnegative Funktionen} -Sei $f : X \to [0, \infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. und $f_n$ mit $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ gegeben: +Sei $f : X \to [0, \infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. und steigende Folge einfacher $f_n \leq f$ mit $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ gegeben: -\vspace{-4mm} -\begin{align*} - \int_X f(x) d\mu(x) :&= \lim_{n \to \infty} \int_X f_n(x) d\mu(x) \\ - &= \sup_{n \in \N} \int_X f_n(x) d\mu(x) \in [0,\infty] -\end{align*} +\vspace{-2mm} +$$\int_X f \ d\mu := \lim_{n \to \infty} \int_X f_n \ d\mu = \sup_{n \in \N} \int_X f_n \ d\mu$$ Grundlegende Integraleigenschaften sind erfüllt. +\vspace{-4mm} +$$\int_X f \ d\mu = \sup\left\{ \int_X g \ d\mu | g \text{ einfach}, 0 \leq g \leq f \right\}$$ + \subsection*{Monotone Konvergenz} Sei $(X, \A, \mu)$ ein Maßraum, $f_n : X \to [0,\infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. und $f_n \leq f_{n+1}$. Dann ist $f : X \to [0,\infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. und es gilt: @@ -405,7 +408,7 @@ Dann sind $f$ und $f_n$ für $\forall n \in \N$ integrierbar und: \vspace{-4mm} \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu &= \int_X f d\mu \\ - |\int_X f_n d\mu - \int_X f d\mu| &\leq \int_{X \setminus N} |f_n - f| d\mu \to 0 + \left|\int_X f_n d\mu - \int_X f d\mu\right| &\leq \int_{X \setminus N} |f_n - f| d\mu \to 0 \end{align*} Mit $N := \{|f| = \infty\} \cup \cup_{n \in \N} \{|f_n| = \infty\}$ Nullmenge. @@ -435,7 +438,7 @@ Sei $U \subseteq \R^k$ offen, $j \in \{1,\cdots,k\}$, $(X,\A,\mu)$ Maßraum und \item $\exists$ Nullmenge $N_2$ und ib. $g : X \to [0,\infty] : \forall x \in X \setminus N_2, t \in U : |\frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x)| \leq g(x)$ \end{enumerate} -Dann ist $\forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es ex. die partielle Ableitung: +Dann ist $\forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es existiert die partielle Ableitung: $$\frac{\partial}{\partial t_j} \int_X f(t,x) dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x) dx$$ |