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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index ec2022b..a288946 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -90,6 +90,7 @@ Sei $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. $\mu : \A \to [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\A$ gdw.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\mu$ wohldefiniert und nichtnegativ \item $\mu(\emptyset) = 0$ \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \N\} \subseteq \A :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ \end{enumerate} @@ -550,3 +551,20 @@ Für messbare $f : X \to \overline\R$: \subsection*{$L^p$-Räume} $$\L^p(X,\A,\mu) := \{ f : X \to \R | f \text{ mb.}, \|f\|_p < \infty\}$$ + +\subsection*{Hölder Ungleichung} + +Sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ mit: + +$$p' = \begin{cases} + \frac{p}{p-1} & p \in (1, \infty) \\ + \infty & p = 1 \\ + 1 & p = \infty +\end{cases}$$ + +Dann liegt für $f \in \L^p(\mu)$, $g \in \L^{p'}(\mu)$ das Produkt $fg \in \L^1(\mu)$ und die Höldersche Ungleichung gilt: + +\vspace{-4mm} +$$\left| \int_X fg d\mu \right| \leq \int_X |fg| d\mu = \|fg\|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_{p'}$$ + +\subsection*{Minkowski Ungleichung} |