Fix f_i^neq scaling factor derivation

It seems that there is a mixup in eq. (28) in the paper

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@@ -242,11 +242,16 @@ p &= c_s^2 \rho \\
 Nach \cite[Kap.~4.1]{krueger17} kann die asymptotische Äquivalenz von LBM BGK Gleichung und schwach-kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Entwicklung von Chapman-Enskog gezeigt werden.
 
 \begin{Definition}[Chapman-Enskog Ansatz]
+\label{def:ChapmanEnskog}
 Der Chapman-Enskog Ansatz besteht in der Annahme, dass die Verteilungsfunktion \(f_i\) als leicht gestörte Equilibriumsverteilung dargestellt werden kann: \[f_i = f_i^\text{eq} + \epsilon f_i^{(1)} + \mathcal{O}(\epsilon^2)\]
 Hierbei ist \(\epsilon f_i^{(1)}\) mit \(\epsilon \ll 1\) der Störterm 1. Ordnung. Dieser ist gegeben als:
-\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} (\xi_i \xi_i - c_s^2 I) : \mathrm{\Pi}^{(1)} \numberthis\label{eq:firstOrderPertubation}\]
-Wobei das Störmoment \(\mathrm\Pi^{(1)}\) definiert ist als:
-\[\mathrm\Pi^{(1)} = \sum_{i=0}^{q-1} \xi_i \xi_i \epsilon f_i^{(1)} = -2 c_s^2 \rho \tau \mathrm{S} \numberthis\label{eq:pertubationMoment}\]
+\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} \mathrm{Q}_i : \mathrm{\Pi}^{(1)} \numberthis\label{eq:firstOrderPertubation}\]
+Wobei der Geschwindigkeitstensor \(\mathrm{Q}_i\) und das Störmoment \(\mathrm\Pi^{(1)}\) nach \cite[Kap.~4.1.3]{krueger17} definiert sind als:
+\begin{align*}
+\mathrm{Q}_i &= \xi_i \xi_i - c_s^2 I \numberthis\label{eq:velocityTensor} \\
+\mathrm\Pi^{(1)} &= \sum_{i=0}^{q-1} \xi_i \xi_i \epsilon f_i^{(1)} = -2 c_s^2 \rho \overline\tau \mathrm{S} \numberthis\label{eq:pertubationMoment}
+\end{align*}
+
 \end{Definition}
 
 %\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} (\xi_i \xi_i - c_s^2 I) : \sum_{j=0}^{q-1} \xi_j \xi_j \epsilon f_j^{(1)}\]
@@ -265,8 +270,8 @@ Die Relaxion der Verteilungsfunktion \(f_i\) gegen die Equilibriumsverteilung \(
 Unter Vernachlässigung von Störtermen der Ordnung \(\mathcal{O}(\epsilon^2)\) ergibt sich eine Näherung der Nicht-Equilibriumsverteilung:
 \[f_i^\text{neq} \cong \epsilon f_i^{(1)}\]
 
-Diese Darstellung können wir unter Kombination von (\ref{eq:firstOrderPertubation}) und (\ref{eq:pertubationMoment}) ausführen als:
-\[f_i^\text{neq} \cong -\frac{w_i \rho \tau}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} \numberthis\label{eq:approxFneq}\]
+Diese Darstellung können wir unter Verwendung von Definition~\ref{def:ChapmanEnskog} ausführen als:
+\[f_i^\text{neq} \cong -\frac{w_i \rho \overline\tau}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \numberthis\label{eq:approxFneq}\]
 
 \newpage
 \subsection{Herangehensweisen an Gitterverfeinerung}
@@ -400,7 +405,7 @@ Wir erzwingen nun mit \(\text{Re}_g = \text{Re}_f\) die Unabhängigkeit von Reyn
 \end{align*}
 
 Für die zur expliziten Lösung der diskreten LBM BGK Gleichung in Definition~\ref{def:LBGKeq} verschobenen Relaxionszeiten ergibt sich somit:
-\[\overline\tau_f = 2 \overline\tau_g - \frac{1}{2} \numberthis\label{eq:gridTauShift}\]
+\[\overline{\tau_f} = 2 \overline{\tau_g} - \frac{1}{2} \numberthis\label{eq:gridTauShift}\]
 
 Die Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{eq}\) ergibt sich nach Definition~\ref{def:fieq} aus Geschwindigkeit \(u\) und Dichte \(\rho\). Sie sind also explizit unabhängig der Gitterauflösung und, wie erwähnt, stetig im Gitterübergang. Diese Aussage gilt nicht für die Nicht-Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{neq}\), da diese nach (\ref{eq:approxFneq}) von dem Geschwindigkeitsgradienten \(\nabla u\) abhängt.
 
@@ -408,17 +413,17 @@ Bezeichnen nun \(f_{f,i}^\text{neq}\) und \(f_{g,i}^\text{neq}\) die gitterspezi
 
 Mit Hilfe von \ref{eq:approxFneq} lässt sich diese Relation nun nach \(\alpha\) auflösen:
 \begin{align*}
-f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} &\iff -\frac{w_i \rho \tau_f}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_f = -\alpha \frac{w_i \rho \tau_g}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_g \\
-&\iff \tau_f (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_f = \alpha \tau_g (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_g \\
-&\iff \frac{\tau_f}{\delta t_f} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} = \alpha \frac{\tau_g}{\delta t_g} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} \\
-&\iff \alpha = \frac{\delta t_g \tau_f}{\delta t_f \tau_g}
+f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} &\iff -\frac{w_i \rho \overline{\tau_f}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = -\alpha \frac{w_i \rho \overline{\tau_g}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \\
+&\iff \overline{\tau_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = \alpha \overline{\tau_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \\
+&\iff \frac{\overline{\tau_f}}{\delta t_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} = \alpha \frac{\overline{\tau_g}}{\delta t_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \\
+&\iff \alpha = \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}}\\
 \end{align*}
 
-Auflösen dieses \(\alpha\) in (\ref{eq:scaleFneqReq}) und Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) sowie (\ref{eq:gridTau}) ergibt dann:
+Auflösen dieses \(\alpha\) in (\ref{eq:scaleFneqReq}) und Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) sowie (\ref{eq:gridTauShift}) ergibt dann:
 \begin{align*}
-f_{f,i}^\text{neq} &= \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\tau_f}{\tau_g} f_{g,i}^\text{neq} \\
-&= \frac{2 \delta t_f}{\delta t_f} \frac{2 \tau_g}{\tau_g} f_{g,i}^\text{neq} \\
-&= 4 f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq}
+f_{f,i}^\text{neq} &= \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\
+&= 2 \frac{2\overline{\tau_g} - \frac{1}{2}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\
+&= \left( 4 - \frac{1}{\overline{\tau_g}} \right) f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq}
 \end{align*}
 
 \subsection{Restriktion}