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@@ -242,11 +242,16 @@ p &= c_s^2 \rho \\ Nach \cite[Kap.~4.1]{krueger17} kann die asymptotische Äquivalenz von LBM BGK Gleichung und schwach-kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen mit der Entwicklung von Chapman-Enskog gezeigt werden. \begin{Definition}[Chapman-Enskog Ansatz] +\label{def:ChapmanEnskog} Der Chapman-Enskog Ansatz besteht in der Annahme, dass die Verteilungsfunktion \(f_i\) als leicht gestörte Equilibriumsverteilung dargestellt werden kann: \[f_i = f_i^\text{eq} + \epsilon f_i^{(1)} + \mathcal{O}(\epsilon^2)\] Hierbei ist \(\epsilon f_i^{(1)}\) mit \(\epsilon \ll 1\) der Störterm 1. Ordnung. Dieser ist gegeben als: -\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} (\xi_i \xi_i - c_s^2 I) : \mathrm{\Pi}^{(1)} \numberthis\label{eq:firstOrderPertubation}\] -Wobei das Störmoment \(\mathrm\Pi^{(1)}\) definiert ist als: -\[\mathrm\Pi^{(1)} = \sum_{i=0}^{q-1} \xi_i \xi_i \epsilon f_i^{(1)} = -2 c_s^2 \rho \tau \mathrm{S} \numberthis\label{eq:pertubationMoment}\] +\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} \mathrm{Q}_i : \mathrm{\Pi}^{(1)} \numberthis\label{eq:firstOrderPertubation}\] +Wobei der Geschwindigkeitstensor \(\mathrm{Q}_i\) und das Störmoment \(\mathrm\Pi^{(1)}\) nach \cite[Kap.~4.1.3]{krueger17} definiert sind als: +\begin{align*} +\mathrm{Q}_i &= \xi_i \xi_i - c_s^2 I \numberthis\label{eq:velocityTensor} \\ +\mathrm\Pi^{(1)} &= \sum_{i=0}^{q-1} \xi_i \xi_i \epsilon f_i^{(1)} = -2 c_s^2 \rho \overline\tau \mathrm{S} \numberthis\label{eq:pertubationMoment} +\end{align*} + \end{Definition} %\[\epsilon f_i^{(1)} = \frac{w_i}{2 c_s^4} (\xi_i \xi_i - c_s^2 I) : \sum_{j=0}^{q-1} \xi_j \xi_j \epsilon f_j^{(1)}\] @@ -265,8 +270,8 @@ Die Relaxion der Verteilungsfunktion \(f_i\) gegen die Equilibriumsverteilung \( Unter Vernachlässigung von Störtermen der Ordnung \(\mathcal{O}(\epsilon^2)\) ergibt sich eine Näherung der Nicht-Equilibriumsverteilung: \[f_i^\text{neq} \cong \epsilon f_i^{(1)}\] -Diese Darstellung können wir unter Kombination von (\ref{eq:firstOrderPertubation}) und (\ref{eq:pertubationMoment}) ausführen als: -\[f_i^\text{neq} \cong -\frac{w_i \rho \tau}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} \numberthis\label{eq:approxFneq}\] +Diese Darstellung können wir unter Verwendung von Definition~\ref{def:ChapmanEnskog} ausführen als: +\[f_i^\text{neq} \cong -\frac{w_i \rho \overline\tau}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \numberthis\label{eq:approxFneq}\] \newpage \subsection{Herangehensweisen an Gitterverfeinerung} @@ -400,7 +405,7 @@ Wir erzwingen nun mit \(\text{Re}_g = \text{Re}_f\) die Unabhängigkeit von Reyn \end{align*} Für die zur expliziten Lösung der diskreten LBM BGK Gleichung in Definition~\ref{def:LBGKeq} verschobenen Relaxionszeiten ergibt sich somit: -\[\overline\tau_f = 2 \overline\tau_g - \frac{1}{2} \numberthis\label{eq:gridTauShift}\] +\[\overline{\tau_f} = 2 \overline{\tau_g} - \frac{1}{2} \numberthis\label{eq:gridTauShift}\] Die Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{eq}\) ergibt sich nach Definition~\ref{def:fieq} aus Geschwindigkeit \(u\) und Dichte \(\rho\). Sie sind also explizit unabhängig der Gitterauflösung und, wie erwähnt, stetig im Gitterübergang. Diese Aussage gilt nicht für die Nicht-Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{neq}\), da diese nach (\ref{eq:approxFneq}) von dem Geschwindigkeitsgradienten \(\nabla u\) abhängt. @@ -408,17 +413,17 @@ Bezeichnen nun \(f_{f,i}^\text{neq}\) und \(f_{g,i}^\text{neq}\) die gitterspezi Mit Hilfe von \ref{eq:approxFneq} lässt sich diese Relation nun nach \(\alpha\) auflösen: \begin{align*} -f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} &\iff -\frac{w_i \rho \tau_f}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_f = -\alpha \frac{w_i \rho \tau_g}{c_s^2} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_g \\ -&\iff \tau_f (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_f = \alpha \tau_g (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S}_g \\ -&\iff \frac{\tau_f}{\delta t_f} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} = \alpha \frac{\tau_g}{\delta t_g} (\xi_i \xi_i - c_s^2) : \mathrm{S} \\ -&\iff \alpha = \frac{\delta t_g \tau_f}{\delta t_f \tau_g} +f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} &\iff -\frac{w_i \rho \overline{\tau_f}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = -\alpha \frac{w_i \rho \overline{\tau_g}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \\ +&\iff \overline{\tau_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = \alpha \overline{\tau_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \\ +&\iff \frac{\overline{\tau_f}}{\delta t_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} = \alpha \frac{\overline{\tau_g}}{\delta t_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \\ +&\iff \alpha = \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}}\\ \end{align*} -Auflösen dieses \(\alpha\) in (\ref{eq:scaleFneqReq}) und Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) sowie (\ref{eq:gridTau}) ergibt dann: +Auflösen dieses \(\alpha\) in (\ref{eq:scaleFneqReq}) und Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) sowie (\ref{eq:gridTauShift}) ergibt dann: \begin{align*} -f_{f,i}^\text{neq} &= \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\tau_f}{\tau_g} f_{g,i}^\text{neq} \\ -&= \frac{2 \delta t_f}{\delta t_f} \frac{2 \tau_g}{\tau_g} f_{g,i}^\text{neq} \\ -&= 4 f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq} +f_{f,i}^\text{neq} &= \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\ +&= 2 \frac{2\overline{\tau_g} - \frac{1}{2}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\ +&= \left( 4 - \frac{1}{\overline{\tau_g}} \right) f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq} \end{align*} \subsection{Restriktion} |