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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index beba16b..e7a4bd5 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -530,9 +530,9 @@ Eine Borelmenge $M \subseteq \R^m$ ist \emph{dünnsinguläre} $C^k$-Hyperfläche Sei $F : U \to W$ eine Parametrisierung. Dann ist \vspace{-2mm} -$$g_F(t) = \det(F'(t)^TF'(t))$$ +$$g_F(t) = \transpose{\det(F'(t)}F'(t))$$ -die \emph{Gramsche Determinante} von $F$. +die \emph{Gramsche Determinante} von $F$. Die Matrix $\transpose{F'(t)}F'(t) \in L(\R^{m-1})$ ist sym. und positiv definit. \spacing @@ -573,6 +573,8 @@ Sei $B \in \B(M_0)$ dann ist $\1_B$ messbar und $F^{-1}(B) \in \B(U)$. Dann ist &= \int_{F^{-1}(B)} \sqrt{g_F(t)} dt \end{align*} +Maß ist unabhg. der Wahl der Parametrisierung. + \subsection*{Divergenzsatz von Gauß} Sei $D \subseteq \R^m$ offen und beschränkt mit dünnsingulärem $C^1$-Rand, $f \in C(D,\R^m) \cap C_b^1(D,\R^m)$ und $(f|\nu) \in \L^1(\partial D,\sigma)$. Dann: @@ -585,7 +587,17 @@ Mit $\text{div} f(x) := \text{spur} f'(x) = \partial_1 f_1(x) + \cdots + \partia Für $f \in C^1(D,\R^3)$ ist die Rotation definiert: -$$\text{rot} f(x) = \begin{pmatrix} +\vspace{-4mm} +$$\text{rot} \ f(x) = \begin{pmatrix} + \partial_1 \\ + \partial_2 \\ + \partial_3 +\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} + f_1 \\ + f_2 \\ + f_3 +\end{pmatrix} = +\begin{pmatrix} \partial_2 f_3(x) - \partial_3 f_2(x) \\ \partial_3 f_1(x) - \partial_1 f_3(x) \\ \partial_1 f_2(x) - \partial_2 f_1(x) @@ -597,7 +609,7 @@ $$\int_M (\text{rot} f(x) | n(x)) d\mu(x) = \int_{\partial_2 M} f \cdot dx$$ Dabei ist das \emph{Kurvenintegral zweiter Art} geg. als: -$$\int_{\partial_2 M} f \cdot dx = \int_a^b (f(\varphi(\tau))|\varphi'(\tau)) d\tau$$ +$$\int_{\partial M} f \cdot dx = \int_a^b (f(\varphi(\tau))|\varphi'(\tau)) d\tau$$ \section*{Lebesguesche Räume} @@ -632,13 +644,6 @@ Der Quotientenraum $L^p(\mu)$ ist $\R$-Vektorraum mit Restklassen $\hat f = f + $(L^p(\mu),\|\cdot\|_p)$ ist $\forall p \in [1,\infty]$ normierter Vektorraum. -\subsubsection*{Einfache Funktionen in $\L^p$} - -Sei $(X,\A,\mu)$ Maßraum und $f \in L^p(\mu)$. Dann liegt $E = \{ f \in L^p(\mu) | f \text{ ist einfach} \}$ dicht in $L^p(\mu)$, d.h: - -\vspace{-4mm} -$$\forall f \in L^p(\mu), \epsilon > 0 \exists \text{ einf. } g \in L^p(\mu) : \| f - g \|_p \leq \epsilon$$ - \subsection*{Hölder Ungleichung} Sei $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ mit: @@ -662,6 +667,19 @@ Seien $f, g \in \L^p(\mu)$. Dann gilt $f + g \in \L^p(\mu)$ und: \vspace{-2mm} $$\| f + g \|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$$ +\subsection*{Konvergenz in $\L^p$} + +Sei $\mu(X) < \infty$ und $1 \leq p \leq q \leq \infty$. Dann gilt $\L^q(\mu) \subseteq \L^p(mu)$ und für $f \in L^q(\mu)$: + +\vspace{-2mm} +$$\|f\|_p \leq \mu(X)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \|f\|_q$$ + +Die Konvergenz $\| f - f_n \|_p \to 0$ folgt also in diesem Fall aus $\| f - f_n \|_q \to 0$ für $n \to \infty$. + +\spacing + +Sei $1 \leq p < \infty$, $f_n, f : X \to \R$ mb., $g \in \L^p(\mu)$, $\forall n \in \N : |f_n| \leq g$ f.ü. und $(f_n)$ konvergiere gegen $f$. Dann gilt: $f_n, f \in \L^p(\mu)$ und $\lim_{n \to \infty} \|f - f_n\|_p = 0$. + \subsection*{Satz von Riesz-Fischer} Sei $1 \leq p < \infty$, $(f_n)$ Cauchyfolge in $\L^p(\mu)$ bzgl. $\|\cdot\|_p$. @@ -669,3 +687,11 @@ Sei $1 \leq p < \infty$, $(f_n)$ Cauchyfolge in $\L^p(\mu)$ bzgl. $\|\cdot\|_p$. Dann existieren $f, h \in \L^p(\mu)$ und Teilfolge $(f_{n_j})_j$ s.d. diese f.ü. gegen $f$ strebt, $\forall j \in \N : |f_{n_j}| \leq h$ f.ü. gilt und $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_p = 0$ gilt. $L^p(\mu)$ ist ein Banach-, für $p=2$ ein Hilbertraum. + +\subsubsection*{Einfache Funktionen in $\L^p$} + +Sei $(X,\A,\mu)$ Maßraum und $f \in L^p(\mu)$. Dann liegt $E = \{ f \in L^p(\mu) | f \text{ ist einfach} \}$ dicht in $L^p(\mu)$, d.h: + +\vspace{-4mm} +$$\forall f \in L^p(\mu), \epsilon > 0 \exists \text{ einf. } g \in L^p(\mu) : \| f - g \|_p \leq \epsilon$$ + |