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diff --git a/content/numerik_2.tex b/content/numerik_2.tex index 64ae02d..1336504 100644 --- a/content/numerik_2.tex +++ b/content/numerik_2.tex @@ -192,4 +192,35 @@ $x_{k+1}$ ist Nullstelle der Tangente an $f$ in $x_k$. Sei $f \in C^2(a,b), \exists \xi \in (a,b) : f'(\xi) \neq 0$. Dann konv. das Newton-Verfahren lokal mit Ordnung $2$. +\subsection*{Banachscher Fixpunktsatz} + +Sei $D \subset \R^n$ abgeschlossen, $\Phi : D \to D$ Kontraktion bzgl. $\|\cdot\|$ mit Kontraktionszahl $q \in [0,1)$. + +Dann hat $\Phi$ genau einen Fixpunkt $x^\star \in D$. Die Fixpunktiteration $x^{k+1} := \Phi(x^k)$ mit $x^0 \in D$ konv. + +Es gilt die Fehlerabschätzung: + +\vspace*{-6mm} +$$\forall 0 \leq l \leq k - 1 : \|x^\star - x^k\| \leq \frac{q^{k-l}}{1-q} \|x^{l+1} - x^l\|$$ + +Für $l=0$ ergibt sich die a priori-Abschätzung: + +\vspace*{-2mm} +$$\|x^\star - x^k\| \leq \frac{q^k}{1-q} \|x^1 - x^0\|$$ + +Für $l=k-1$ die a posteriori-Abschätzung: + +\vspace*{-2mm} +$$\|x^\star - x^k\| \leq \frac{q}{1-q} \|x^k - x^{k-1}\|$$ + +\subsubsection*{Lokaler Konvergenzsatz} + +Sei $\Phi : D \subset \R^n \to \R^n$ stetig differenzierbare Fkt., $D$ offen, $\exists x^\star \in D : f(x^\star)=x^\star$ und $\|\Phi'(x^\star)\| < 1$. + +\vspace*{1mm} + +Dann ex. abgeschlossene Umgebung $U \subset D$ von $x^\star$ s.d. $\Phi$ in ihr Kontraktion und Selbstabbildung $\Phi(U) \subset U$ ist sowie die Fixpunktiteration konv. + +\subsection*{Newton-Verfahren in $\R^n$} + \section*{Numerische Integration} |