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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 3e16c98..db7c7e6 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -392,6 +392,21 @@ Wobei (a) und (b) Sesquilinearität, (c) Hermitizität und (d) Positivität. Ein $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \ni (v, w) \mapsto \langle v, w \rangle := v^T * \overline w = \sum_{i=1}^n v_i * \overline{w_i}$ +\subsection*{Fundamentalmatrix} + +Seien $B$ und $C$ Basen von $V$ und $\langle \cdot, \cdot \rangle$ SKP. + +\vspace*{-3mm} +$$D_{BC}(\langle \cdot, \cdot \rangle) = \begin{pmatrix} + \langle b_1, c_1 \rangle & \hdots & \langle b_1, c_n \rangle \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + \langle b_n, c_1 \rangle & \hdots & \langle b_n, c_n \rangle +\end{pmatrix}$$ + +\subsubsection*{Hurwitz-Kriterium} + +Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix $A$ ist positiv definit gdw. die Determinanten aller führenden Hauptminoren positiv sind. Führende Hauptminoren sind in der oberen linken Ecke beginnende quadr. Teilmatr. von $A$ inkl. $A$ selbst. + \subsection*{Ungleichung von Cauchy-Schwarz} $\langle v, w \rangle ^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\mathbb{R}$) @@ -468,9 +483,9 @@ $A$ heißt orthogonal, wenn $A^TA=I$ gilt. $A$ ist orthogonale Matrix $\Rightarrow det(A)=\pm 1$ -$\forall \lambda \in Spec(A) : |\lambda| = 1$ +$\forall \lambda \in Spec(A) : \lambda=\pm 1$ -Orthogonale / unitäre Matrizen sind normal. +Orthogonale Matrizen sind normal. \subsubsection*{Unitäre Matrizen} @@ -478,15 +493,19 @@ $A$ heißt unitär, wenn $\overline{A^T}A = I$ gilt. $A$ ist unitäre Matrix $\Rightarrow |det(A)|=1$ +$\forall \lambda \in Spec(A) : |\lambda| = 1$ + +Unitäre Matrizen sind normal. + \subsection*{Iwasawa- / QR-Zerlegung} Zerlegung von $A \in GL_n(\mathbb{K})$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. \vspace*{-5mm} $$A = \begin{pmatrix} -\vdots & \vdots & \vdots \\ -q_1 & \hdots & q_n \\ -\vdots & \vdots & \vdots +\vdots & \vdots & \vdots \\ +q_1 & \hspace{-3mm}\hdots\hspace{-3mm} & q_n \\ +\vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle q_1, a_1 \rangle & \langle q_1, a_2 \rangle & \hdots & \langle q_1, a_n \rangle \\ |