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diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex index 02c8ca5..53736f7 100644 --- a/numerik_1.tex +++ b/numerik_1.tex @@ -100,6 +100,20 @@ Für $A \in \K^{n \times n} \in GL_n{\R}$, $\|\cdot\|$ induzierte Matrixnorm: 1 = \|Id\| = \|AA^{-1}\| &\leq \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = \kappa(A) \end{align*} +\section*{Besondere Matrizen} + +\subsection*{Diagonaldominante Matrizen} + +$A \in \R^{n \times n}$ ist diagonaldominant, falls: + +$\forall i \in \{1,\cdots,n\} : |a_{i,i}| > \sum_{j=1,j\neq i}^n |a_{i,j}|$ + +Insbesondere sind solche $A$ regulär. + +\subsection*{Positive Definitheit} + +$A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\forall x \in \R^n \setminus \{0\} : x^TAx > 0$. + \section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} \subsection*{Cramersche Regel} @@ -114,9 +128,38 @@ Obere Dreicksmatrizen können mittels Rückwärtssubstitution, untere Dreiecksma \subsection*{LR-Zerlegung} +$A = LR$ wobei $L$ untere Dreiecksmatrix mit $1$-Diagonale und $R$ obere Dreicksmatrix. + +\subsubsection*{Berechnung LR-Zerlegung} + +Die LR-Zerlegung existiert insofern die Diagonaleinträge nicht verschwinden. Insbesondere gilt dies für diagonaldominante Matrizen. + +\begin{enumerate} + \item Spaltenweises nullen der der unteren Einträge mittels \emph{Gauß}, Matrizen $L_1, \cdots, L_{n-1}$ + \item $L = L_1^{-1} \cdots L_{n-1}^{-1}$, $R=L_{n-1} \cdots L_1 A$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Lösung $Ax=b$ mittels LR-Zerlegung} + +\begin{enumerate} + \item $A=LR$ berechnen + \item $Lz=b$ Vorwärtssubstitution + \item $Rx=z$ Rückwärtssubstitution +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Spaltenpivotsuche} + +Die normale LR-Zerlegung ist nur Vorwärts- und nicht Rückwärtsstabil. Dies kann durch Spaltenpivotsuche verbessert werden. Hier wird in jedem Schritt mittels einer Permutationsmatrix immer mit der größten verbleibenden Zeile eliminiert. + +\vspace{1mm} + +Für alle regulären Matrizen existiert eine Spaltenpivotsuchen LR-Zerlegung so, dass $PA=LR$. + \subsection*{Cholesky-Zerlegung} -\subsection*{QR-Zerlegung} +Für $A > 0$ existiert untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiver Diagonale, so dass $A = LL^T$ + +\subsection*{QR-Faktorisierung} \section*{Lineare Ausgleichsprobleme} |