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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 4d3c0b7..bd799a7 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -425,7 +425,7 @@ Sei $U \subseteq \R^k$ offen, $j \in \{1,\cdots,k\}$, $(X,\A,\mu)$ Maßraum und \item $\exists$ Nullmenge $N_2$ und ib. $g : X \to [0,\infty] : \forall x \in X \setminus N_2, t \in U : |\frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x)| \leq g(x)$ \end{enumerate} -Dann ist $forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es ex. die partielle Ableitung: +Dann ist $\forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es ex. die partielle Ableitung: $$\frac{\partial}{\partial t_j} \int_X f(t,x) dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x) dx$$ @@ -492,16 +492,22 @@ Die Abbildung $\psi$ heißt dann Karte. \subsection*{Gramsche Determinante} -Sei $F : U \to W$ eine Parametrisierung. Dann ist: +Sei $F : U \to W$ eine Parametrisierung. Dann ist \vspace{-2mm} $$g_F(t) = \det(F'(t)^TF'(t))$$ die \emph{Gramsche Determinante} von $F$. +\vspace{2mm} + +Im Graphenfall $F(t) = (t,h(t))$ für $t \in U$, $U \subseteq \R^{m-1}$ offen und $h \in C^1(U,\R)$ gilt: + +$\sqrt{g_F(t)} = \sqrt{1+|\nabla h(t)|_2^2}$ + \subsection*{Oberflächenintegral} -Sei $F : U \to W$ eine Parametrisierung, $M_0 = F(U) \subseteq \R^m$ ein offenes Flächenstück. Sei weiter $f : M_0 \to \overline\R$ messbar und nichtnegativ oder die Funktion $g := f \circ F \sqrt{g_f}$ integrierbar. Dann: +Sei $F : U \to W$ eine Parametrisierung, $M_0 = F(U) \subseteq \R^m$ ein offenes Flächenstück. Sei weiter $f : M_0 \to \overline\R$ messbar und nichtnegativ oder die Funktion $g := f \circ F \sqrt{g_F}$ integrierbar. Dann: \vspace{-4mm} $$\int_{M_0} f d\sigma = \int_{M_0} f(x) d\sigma(x) := \int_U f(F(t))\sqrt{g_F(t)} dt$$ @@ -515,3 +521,11 @@ Sei $B \in \B(M_0)$ dann ist $\mathbbm{1}_B$ messbar und $F^{-1}(B) \in \B(U)$. \sigma(B) := \int_{M_0} \mathbbm{1}_B d\sigma &= \int_U \mathbbm{1}_B(F(t)) \sqrt{g_F(t)} dt\\ &= \int_{F^{-1}(B)} \sqrt{g_F(t)} dt \end{align*} + +\subsection*{Divergenzsatz von Gauß} + +Sei $D \subseteq \R^m$ offen und beschränkt mit dünnsingulärem $C^1$-Rand, $f \in C(D,\R^m) \cap C_b^1(D,\R^m)$ und $(f|\nu) \in \L^1(\partial D,\sigma)$. Dann: + +$$\int_D div f(x) dx = \int_{\partial D} (f(x)|\nu(x)) d\sigma(x)$$ + +Mit $div f(x) := spur f'(x) = \partial_1 f_1(x) + \cdots + \partial_m f_m(x)$. |