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diff --git a/analysis.tex b/analysis.tex new file mode 100644 index 0000000..65a98e9 --- /dev/null +++ b/analysis.tex @@ -0,0 +1,943 @@ +\section*{Folgen} + +$\displaystyle\lim_{n \to \infty} = a \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n \geq N_\epsilon : | a_n - a | \leq \epsilon$ + +\subsection*{Konvergenzsatz für monotone Folgen} + +Sei $(a_n)$ wachsend und nach oben beschränkt \\ $\Rightarrow \exists \lim_{n \to \infty} a_n = \sup_{n\geq 1} a_n := \sup\{a_n | n \in \mathbb{N}\}$ + +Analoges für fallende, nach unten beschr. Folgen. + +\subsection*{Bolzano-Weierstraß} + +Jede beschränkte Folge hat einen Häufungspunkt + +$\overline\lim_{x \to \infty} a_n$ Maximum der Häufungspunkte + +$\underline\lim_{x \to \infty} a_n$ Minimum der Häufungspunkte + +\subsection*{Cauchyfolgen} + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n, m \geq N_\epsilon : | a_n - a_m | \leq \epsilon$ + +Cauchyfolge $\Leftrightarrow$ konvergente Folge + +\subsection*{Uneigentliche Grenzwerte} + +Sei $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ + +$\forall K \in \mathbb{N} \exists N_K \in \mathbb{N} \forall n \geq N_K : x_n \geq K \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ + +\subsection*{Beispiele und Hinweise} + +$$e^x = exp(x) = \lim_{n\to \infty} \Big(1 + \frac{x}{n}\Big)^n \text{ insb. } e = \lim_{n\to \infty} \Big(1 + \frac{1}{n}\Big)^n$$ + +Zur Bestimmung von Folgen Grenzwerten kann auch L'Hospital herangezogen werden. + +\section*{Reihen} + +Sei $(a_k)_{k\geq 0}$ Folge, dann ist $\sum_{k\geq 0} a_k$ Reihe. + +\subsection*{Konvergenzkriterien} + +$\sum_{k=0}^\infty a_k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a_k = \lim_{n\to \infty} s_n$ + +$\sum_{k\geq 0} a_k$ konvergiert $\Rightarrow (a_k)$ ist Nullfolge. + +\subsubsection*{Leibnizkriterium} + +Es gelte $\forall k \in \mathbb{N}_0 : b_k \geq b_{k+1} \geq 0$ und $\displaystyle \lim_{k \to \infty} b_k = 0$ + +Dann konvergiert: $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k b_k$ + +\subsubsection*{Majorantenkriterium} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item Wenn $0 \leq |a_k| \leq b_k \forall k \in \mathbb{N}_0$ und $\sum_k b_k$ konvergiert, dann konvergiert $\sum_k a_k$ absolut und es gilt $|\sum_{k=0}^\infty a_k| \leq \sum_{k=0}^\infty |a_k| \leq \sum_{k=0}^\infty b_k$. + \item Wenn $a_k \geq b_k \geq 0$ und $\sum_k b_k$ divergiert, dann divergiert $\sum_k a_k$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Quotientenkriterium} + +Sei $(a_n)_{n\geq 0}$ Folge, $n_0 \in \mathbb{N}$ mit $\forall n \geq n_0 : a_n \neq 0$ + +$\overline\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1 \implies \sum a_n$ konvergiert absolut + +$\underline\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| > 1 \implies \sum_{n\geq 0} a_n$ divergiert + +\subsubsection*{Wurzelkriterium} + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + \overline\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 &\implies \textstyle\sum_{n\geq 1} a_n \text{ konvergiert} \\ + \overline\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1 &\implies \textstyle\sum_{n\geq 1} a_n \text{ divergiert} \\ + (b_n) \text{ unbeschränkt } &\implies \textstyle\sum_{n\geq 0} a_n \text{ divergiert} +\end{align*} + +\subsubsection*{Integralkriterium} + +Für monoton fallende Koeffizientenfolge $f$ gilt: + +$\int_p^\infty f(n) dn$ integrierbar $\Leftrightarrow \sum_{n=p}^\infty f(n)$ konvergiert. + +\subsection*{Beispiele} + +\vspace*{-8mm} +\begin{align*} + \textstyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= e^x \text{ (insb. } \textstyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e) \\ + \textstyle\sum_{k=0}^{\infty} z^k &= \frac{1}{1-z} (z \in \mathbb{C} \land |z|<1) \\ + \textstyle\sum_{k=0}^{\infty} (\alpha a_k + \beta b_k) &= \alpha \textstyle\sum_{k=0}^{\infty} a_k + \beta \textstyle\sum_{k=0}^{\infty} b_k +\end{align*} +\vspace*{-4mm} + +Die allgemeine harmonische Reihe $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^\alpha}$ divergiert für $\alpha \leq 1$ und konvergiert für $\alpha > 1$. + +\subsection*{Cauchykriterium} + +Eine Reihe $\sum_k a_k$ konvergiert genau dann, wenn: + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n > m \geq N_\epsilon : | \sum_{k=m+1}^{n} a_k | \leq \epsilon$ + +\section*{Potenzreihen} + +Sei $z \in \mathbb{C}$, dann $\sum a_n z^n$ Potenzreihe mit Koeff. $a_n$. + +\begin{description}[leftmargin=!] + \item[Konvergenzradius] $p := \frac{1}{\overline\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ +\end{description} + +\subsubsection*{Konvergenzsatz für Potenzreihen} + +Sei $p$ der Konvergenzradius von $\sum_n a_n z^n$, dann: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=15mm] + \item[$p \in (0, \infty)$] $\sum_n a_n z^n \text{ konv. abs. für } |z| < p, \\ \text{divergiert für } |z| > p$ + \item[$p=0$] $\sum_n a_n z^n \text{ divergiert } \forall z \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ + \item[$p=\infty$] $\sum_n a_n z^n \text{ konvergiert abs. } \forall z \in \mathbb{C}$ +\end{description} + +\subsection*{Winkelfunktionen} + +\vspace*{-3mm} +\begin{align*} + sin(z) &= \textstyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} z^{2k+1} \\ + cos(z) &= \textstyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} z^{2k} +\end{align*} + +Auch: $tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$ und $cot(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ + +\subsubsection*{Additionstheoreme und andere Hilfen} + +\vspace*{-3mm} +\begin{align*} + \sin(x\pm y) &= \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\ + \cos(x\pm y) &= \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \\ + \tan(x\pm y) &= \textstyle\frac{\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)} \\ + \cos(x) \cos(y) &= \textstyle\frac{1}{2} ( \cos(x-y) + \cos(x+y) ) \\ + \sin(x) \cos(y) &= \textstyle\frac{1}{2} ( \sin(x-y) + \sin(x+y) ) \\ + \sin^2(x) + \cos^2(x) &= 1 \\ + \cosh^2(x) - \sinh^2(x) &= 1 +\end{align*} + + +\section*{Stetige Funktionen} + +Eine Funktion $f : D \rightarrow \mathbb{C}$ ist stetig in $z_0 \in D$, wenn für jede Folge $(z_n) \subseteq D$ mit $z_n \rightarrow z_0$ auch $f(z_n) \rightarrow f(z_0)$ für $n \rightarrow \infty$ gilt. + +Wenn $z_0 \in D$ ein isolierter Punkt, dann ist $f$ in $z_0$ immer stetig. + +\subsection*{Abgeschlossenheit} + +$D \subseteq \mathbb{C}$ ist abgeschlossen, wenn $z_n \in D \text{ für } n \in \mathbb{N} \land \lim_{n \to \infty} z_n = z \implies z \in D$. + +\subsection*{Gleichmäßige Stetigkeit} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}, f : D \rightarrow \mathbb{R}$. $f$ ist glm. stetig gdw.: + +$\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x, x_0 \in D : | x - x_0 | < \delta \\ \hspace*{4mm} \implies | f(x) - f(x_0) | < \epsilon$ + +\subsection*{Satz vom Maximum} + +Sei $D \subseteq \mathbb{C}$ abgeschlossen und beschränkt, $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, dann nimmt $f$ auf $D$ ein Maximum und Minimum an, ist also insbesondere beschränkt. + +\subsection*{Zwischenwertsatz} + +Sei $f: [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, dann: + +$f([a, b]) = [\min_{[a, b]} f, \max_{[a, b]} f]$. + +Insbesondere: + +$\forall y \in [\min_{[a, b]} f, \max_{[a, b]} f] \exists x \in [a, b]: f(x)=y$ + +\subsection*{Nullstellensatz} + +Sei $f \in [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig mit $f(a)f(b) \leq 0$, dann: + +$\exists x \in [a, b]: f(x) = 0$ + +\subsection*{Intervallsatz} + +Sei $I \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall und $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig. + +Dann ist $f(I)$ ein Intervall. + +\subsection*{Konvergenz} + +\subsubsection*{Punktweise Konvergenz} + +Fkt. Folge $(f_n)$ konv. punktweise gegen $f$, wenn: + +$\forall z \in D \forall \epsilon > 0 \exists N_{\epsilon, z} \in \mathbb{N} \forall n \geq N_{\epsilon, z} : | f_n(z) - f(z) | \leq \epsilon$ + +Dies ist äquivalent zu $\lim_{n\to \infty} f_n(x)=f(x)$. + +\subsubsection*{Gleichmäßige Konvergenz} + +Fkt. Folge $(f_n)$ konv. gleichmäßig gegen $f$, wenn: + +$\forall z \in D \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n \geq N_\epsilon : \sup_{z \in D} | f_n(z) - f(z) | \leq \epsilon$ + +Dies ist äquivalent zu $\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\sup_{z \in D}| f_n(z) - f(z) |) = 0$. + +\section*{Differentialrechnung} + +\subsection*{Differenzierbarkeit} + +Funktion $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ ist in $x_0$ differenzierbar, wenn: + +$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} =: f'(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0)$ existiert. + +\subsection*{Regeln} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=17mm] + \item[Ketten] $(g \circ f)'(x_0) =g'(f(x_0))f'(x_0)$ + \item[Produkt] $(\alpha f + \beta)'(x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)$ + \item[ ] $(fg)'(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$ + \item[Quotienten] $(\frac{1}{g})'(x_0) = - \frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2}$ + \item[ ] $(\frac{f}{g})'(x_0) = \frac{f'(x_0)g(x_0) - f(x_0)g'(x_0)}{g(x_0)^2}$ +\end{description} + +\subsection*{Nützliche Ableitungen $\frac{d}{dx}$} + +\vspace*{-4mm} +\begin{multicols}{2} +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=14mm] + \item[$\sqrt{x}$] $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ + \item[$\sin(x)$] $\cos(x)$ + \item[$\cos(x)$] $-\sin(x)$ + \item[$\tan(x)$] $\frac{1}{\cos^2(x)}$ + \item[$\arcsin(x)$] $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ + \item[$\arccos(x)$] $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ + \item[$\arctan(x)$] $\frac{1}{1+x^2}$ + \item[$\cosh(x)$] $\sinh(x)$ + \item[$\sinh(x)$] $\cosh(x)$ + \item[$a^x$] $\ln(a) a^x$ + \item[$e^{kx}$] $ke^{kx}$ + \item[$x^x$] $x^x(1+\ln(x))$ + \item[$\ln(x)$] $\frac{1}{x}$ + \item[$\log_a(x)$] $\frac{1}{\ln(a) x}$ + \item[$\ln(f(x))$] $\frac{f'(x)}{f(x)}$ + \item[$f(x)^{g(x)}$] $(e^{g(x)\ln(f(x))})'$ +\end{description} +\end{multicols} +\vspace*{-4mm} + +\subsection*{Mittelwertsatz} + +Sei $a < b$ in $\mathbb{R}$ und $f, g \in C^1((a, b),\mathbb{R})$, dann: + +$\exists \xi \in (a, b) : ( f(b) - f(a) ) g'(\xi) = f'(\xi)(g(b) - g(a))$ + +Für die Funktion $g(x)=x$ folgt der Mittelwertsatz: + +$\exists \xi \in (a, b) : f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ + +Für $f(a)=f(b)$ existiert $f'(\xi)=0$ (Satz von Rolle). + +\subsection*{Konvexität} + +Verbindungsline zweier Punke liegt über Bild. + +d.h. $f'$ wächst in $I$, also $\forall x \in I : f''(x) \geq 0$ + +\subsection*{Konkavität} + +Verbindungsline zweier Punke liegt unter Bild. + +d.h. $f'$ fällt in $I$, also $\forall x \in I : f''(x) \leq 0$ + +\subsection*{Youngsche Ungleichung} + +Seien $x, y > 0$, $p \in (1, \infty)$ und $p' := \frac{p}{p-1}$, also $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$. Dann gilt: $xy \leq \frac{1}{p}x^p + \frac{1}{p'}y^{p'}$ + +\subsection*{L'Hospital} + +Sei $-\infty \leq a < b \leq +\infty$, $f, g : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ differenzierbar mit $\forall x \in (a, b) : g'(x) \neq 0$ und es gelte eines: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\exists \lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^-} g(x) = 0$ + \item $\exists \lim_{x \to b^-} g(x) = \pm \infty$ +\end{enumerate} + +Ferner existiere $l \in \overline{\mathbb{R}}$ mit $\lim_{x \to b^-} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l$. + +Dann existiert $\lim_{x \to b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = l$. + +\subsection*{Umkehrregel} + +Sei $f : I \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ strikt monoton, stetig und differenzierbar in $x_0 \in I$ mit $f'(x_0) \neq 0$. Dann ist $f^{-1} : f(I) \to \mathbb{R}$ in $y_0 = f(x_0)$ differenzierbar mit: + +$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))} = \frac{1}{f'(x_0)}$ + +\section*{Taylorpolynome} + +$n$-tes Taylorpolynom von $f$ in $x_0$: + +$T_{n,x_0} f(x) = \sum_{j=0}^n \frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} (x-x_0)^j$ + +\subsection*{Taylorreihe} + +Taylorreihe von $f$ in $x_0$: + +$T_{x_0} f(x) := \sum_{n\geq0} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$ + +\subsection*{Lagrangesche Restgliedformel} + +$R_{n-1, x_0} f(x) = \frac{1}{n!} f^{(n)} (x_0 + \theta(x-x_0))(x-x_0)^n$ + +\subsection*{Integralrestglied} + +Sei $f \in C^{n+1}((a, b)), n \in \mathbb{N}_0, x_0 \in (a, b)$, dann gilt: + +$f(x) - T_{n,x_0} f(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt$ + +\section*{Integralrechnung} + +\subsection*{Stückweise Stetigkeit} + +$f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ ist stückweise stetig, wenn sich $[a, b]$ in endlich viele disjunkte Teilintervalle so aufteilen lässt, dass $f$ eingeschränkt auf diese stetig ist. + +$PC([a, b])$ ist Menge stckw. stg. Fkt. über $[a, b]$. + +\subsection*{Hauptsatz} + +Sei $f \in C([a, b])$, dann: $\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) =: F|_a^b$ + +Sei $g \in C^1([a, b])$, dann: $\int_a^b g'(t) dt = g(b) - g(a)$ + +\subsection*{Partielle Integration} + +Sei $f, g \in C^1([a, b])$, dann: + +$\int_a^b f'(x)g(x) dx = (fg)|_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx$ + +\subsection*{Substitutionsregel} + +Sei $\phi \in C^1([a, b]), J = \phi([a,b]), f \in C(J)$, dann gilt: + +$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(y) dy$ + +\subsection*{Uneigentliche Riemann-Integrale} + +Sei $-\infty < a < b \leq +\infty, f : [a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ so, dass $\forall \beta \in (a, b): f|_{[a, \beta]} \in PC([a, \beta])$. + +Falls $\lim_{\beta \to b^-} \int_a^\beta f(x) dx =: \int_a^b f(x) dx$ in $\mathbb{R}$ existiert, heißt $f$ uneigentlich Riemann-integrierbar. + +\subsubsection*{Majoranten- / Minorantenkriterium} + +Sei $-\infty < a < b \leq +\infty$ und $f, g : [a, b) \to \mathbb{R}$ mit $\forall c \in (a, b) : f, g \in PC([a, c])$, dann: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall x \in [a, b) : |f(x)| \leq g(x) \land g$ uneigentlich integrierbar $\Rightarrow$ $f, |f|$ uneigentlich integrierbar. + \item $\forall x \in [a, b): f(x) \geq g(x) \geq 0 \land g$ nicht uneigentlich integrierbar $\Rightarrow f$ nicht uneigentlich integrierbar. +\end{enumerate} + +\section*{Eine Auswahl von Bildern} + +\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[ + axis lines*=middle, + domain=-2.5:4.5, + samples=400, + ymin=-3, + ymax=10, + height=7cm, + width=8.5cm +] + \addplot[mark=none]{ln(x)} node [pos=1, above left] {$\ln(x)$}; + \addplot[mark=none]{e^x} node [pos=0.1, above left] {$e^x$}; + \addplot[mark=none]{x} node [pos=1, above left] {$x$}; + \addplot[mark=none]{sinh(x)} node [pos=0.3, below right] {$\sinh(x)$}; + \addplot[mark=none]{cosh(x)} node [pos=0, below right] {$\cosh(x)$}; + \addplot[mark=none]{sin(deg(x))}; +\end{axis} +\end{tikzpicture} + +\section*{Normierte und metrische Räume} + +\subsection*{Normen} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=35mm] + \item[Definitheit] $||x|| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ + \item[Homogenität] $||\alpha x|| = |\alpha| ||x||$ + \item[Dreiecksungleichung] $||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$ +\end{description} + +\subsubsection*{Konvergenz} + +Folge $(x_n) \subseteq X$ konvergiert gegen $x \in X$, wenn: + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n \geq N_\epsilon : ||x_n - x|| \leq \epsilon$ + +\subsubsection*{$p$-Norm} + +$$|x|_p := \begin{cases} + (\sum_{k=1}^m |x_k|^p )^{\frac{1}{p}} & 1 \leq p < \infty \\ + \max_{1\leq k \leq m} |x_k| & p = \infty +\end{cases}$$ + +\subsubsection*{Hölder-Ungleichung} + +Sei $p \in |1, \infty]$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$ sowie $x, y \in \mathbb{K}^m$: + +$|\sum_{k=1}^m x_k y_k| \leq \sum_{k=1}^m |x_k y_k| \leq |x|_p |x|_{p'}$ + +\subsubsection*{Minkowski-Ungleichung} + +Sei $x, y \in \mathbb{K}^m$: $|x+y|_p \leq |x|_p + |y|_p$ + +\subsubsection*{Cauchy-Schwarz-Ungleichung} + +Sei $(x|y) = \sum_{k=1}^m x_k \overline y_k$ Skalarprodukt, dann: + +$|(x|y)| \leq \sum_{k=1}^m |x_k y_k| \leq |x|_2 |y|_2$ + +\subsubsection*{Kugeln} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=22mm] + \item[offen] $B(x,r) = \{y \in X | ||x-y|| < r\}$ + \item[abgeschlossen] $\overline B(x,r) = \{y \in X | ||x-y|| \leq r\}$ + \item[Sphäre] $S(x,r) = \{y \in X | ||x-y|| = r\}$ +\end{description} + +\subsubsection*{Äquivalenz} + +$||\cdot|| \sim |||\cdot||| \Leftrightarrow \exists C, c > 0 \forall x \in X \land r > 0 : \\ \hspace*{5mm} \overline B_{|||\cdot|||}(x, \frac{r}{C}) \subseteq B_{||\cdot||}(x, \frac{r}{C}) \subseteq B_{|||\cdot|||}(x, \frac{r}{c})$ + +\subsubsection*{Konvergenz bezüglich $p$-Normen} + +Sei $1 \leq p < q \leq \infty$, $x \in \mathbb{K}^m$, dann gilt: + +$|x|_p \leq m^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} |x|_q$ und $|x|_q \leq |x|_p$ + +\subsubsection*{Cauchyfolgen bzgl. Normen} + +Sei $(X, ||\cdot||)$ normierter Vektorraum. $(x_n) \subseteq X$ ist Cauchyfolge, wenn gilt: + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n, m \geq N_\epsilon : ||x_n - x_m|| \leq \epsilon$ + +\subsection*{Normen stetiger Funktionen} + +$C([a, b])$ ist Vektorraum mit $dim(C([a, b])) = \infty$. + +Für $f \in C([a, b])$ gilt: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=15mm] + \item[Supnorm] $||f||_\infty = \displaystyle\sup_{a\leq t \leq b} |f(t)| = \displaystyle\max_{a\leq t\leq b} |f(t)|$ + \item[1-Norm] $||f||_1 = \int_a^b |f(t)| dt$ +\end{description} + +\subsubsection*{Banachraum} + +Wenn jede Cauchyfolge in $(X, ||\cdot||)$ einen Grenzwert besitzt, dann heißt $||\cdot||$ vollständig und $(X, ||\cdot||)$ ist Banachraum. + +\subsubsection*{Hilbertraum} + +Die Norm des Banachraums $(\mathbb{K}^m, |\cdot|_2)$ ist durch Skalarprodukt gegeben. Ein solcher Banachraum heißt Hilbertraum. + +Ein $\mathbb{R}$-VRaum mit SKP ist ein euklidischer Raum. + +\subsubsection*{Äquivalenz der Normen} + +Sei $V$ endlichdim. VRaum, dann sind alle Normen auf $V$ äquivalent. Insb. ist $V$ ein Banachraum. + +\subsection*{Metriken} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=35mm] + \item[Definitheit] $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ + \item[Symmetrie] $d(x, y) = d(y, x)$ + \item[Dreiecksungleichung] $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ +\end{description} + +\subsubsection*{Konvergenz bzgl. Metriken} + +$(x_n) \subseteq X$ konvergiert in $(M, d)$ gegen $x \in X$, wenn: + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n \geq N_\epsilon : d(x_n, x) \leq \epsilon$ + +\subsubsection*{Cauchyfolgen bzgl. Metriken} + +Eine Folge $(x_n) \subseteq M$ heißt Cauchfolge, wenn: + +$\forall \epsilon > 0 \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \forall n, m \geq N_\epsilon : d(x_n, x_m) \leq \epsilon$ + +Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchfolge in $(M, d)$ konvergiert. + +\section*{Topologische Grundbegriffe} + +Sei $M$ ein metrischer Raum, dann: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $O \subseteq M$ ist offen in $M$, wenn $\forall x \in O \exists r = r(x) > 0 : B(x, r) \subseteq O$ + \item $U \subseteq M$ ist Umgebung in $M$ von $x \in M$, wenn $\exists r > 0 : B(x, r) \subseteq U$ + \item $A \subseteq M$ ist abgeschlossen in $M$, wenn $M\setminus A$ in $M$ offen ist +\end{enumerate} + +\subsection*{Charakterisierung} + +Sei $M$ metrischer Raum und $A, O \subseteq M$, dann gilt: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $A$ ist abgeschlossen in $M$ gdw. $(x_n \in A \land \lim_{n \to \infty} x_n = x \in M ) \Rightarrow x \in A$ + \item $O$ ist offen in $M$ gdw. $\nexists x \in O : \exists y_n \in M \setminus O : \lim_{n \to \infty} y_n = x$ +\end{enumerate} + +$M$ und $\emptyset$ sind offen und abgeschlossen in $M$. + +Die Vereinigung beliebig vieler und der Durschnitt endlich vieler offener Teilmengen von $M$ sind wieder offen in $M$. + +Der Durschnitt beliebig vieler und die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Teilmengen von $M$ sind wieder abgeschlossen in $M$. + +\subsection*{Inneres, Abschluss und Rand} + +Sei $M$ metrischer Raum und $\emptyset \neq N \subseteq M$, dann ist: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=15mm] + \item[Innere] $N^\circ = \bigcup \{ O \subseteq N | O \text{ offen in } M \}$ + \item[Abschluss] $\overline N = \bigcap\{A \subseteq M | A \text{ abg. in } M, N \subseteq A\}$ + \item[Rand] $\partial N = \overline N \setminus N^\circ = \overline N \bigcap (M \setminus N^\circ)$ +\end{description} + +$N^\circ$ ist die größte in $M$ offene Teilmenge von $N$. + +Die Menge $N$ ist in $M$ offen gdw. $N = N^\circ$. + +\vspace*{-6mm} +\begin{align*} + N^\circ &= \{x \in M | \exists r > 0 : B(x, r) \subseteq N\} \\ + &= \{x \in M | \nexists (x_n) \in M \setminus N : \displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x\} +\end{align*} +\vspace*{-6mm} + +$\overline N$ ist die kleinste in $M$ abg. Obermenge von $N$. + +Die Menge $N$ ist in $M$ abgeschlossen gdw. $N = \overline N$ + +$\overline N = N^\circ \cup \partial N = \{x \in M | \exists x_n \in N : \lim_{n \to \infty} x_n = x \}$ + +$\partial N$ ist abgeschlossen in $M$. + +$\partial N = \{ x \in M \\ \hspace*{8.5mm} | \exists x_n \in N, y_n \in M \setminus N : \displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n = x \}$ + +\subsection*{Dichtheit} + +$N$ dicht in $M$ $\Leftrightarrow \forall x \in M \exists (x_n) \in N : \displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = x$ + +\subsection*{Stetigkeit} + +Seien $M, N$ metrische Räume, $f : M \rightarrow N$. + +\subsubsection*{Gleichmäßige Stetigkeit} + +$\forall \epsilon > 0 \exists \delta_\epsilon > 0 \forall x, y \in M : d_M(x, y) \leq \delta_\epsilon \Rightarrow d_N(f(x), f(y)) \leq \epsilon$ + +\subsubsection*{Lipschitz Stetigkeit} + +$f$ ist Lipschitz stetig mit Konstante $L > 0$, wenn: + +$\forall x, y \in M : d_N(f(x), f(y)) \leq L d_M(x, y)$ + +Lipschitz stetige Fkt. sind insb. auch glm. stetig. + +$L(V, W) = \{T : V \rightarrow W | T \text{ linear} \}$ sind lineare Abb. zwischen $\mathbb{K}$-VR $V$ und $W$, genannt Operatoren. + +\subsubsection*{Operatornorm} + +Seien $V$, $W$, $Z$ endlichdim. norm. VRäume, $T \in L(V, W)$ und $S \in L(W, Z)$. Dann gelten: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $T$ ist Lipschitz stetig mit Konstante \\ $||T|| = ||T||_{L(V, W)} := \sup_{x\in V \setminus \{O\}} \frac{||Tx||}{||x||}$ + \item $\forall x \in V : ||Tx|| \leq ||T|| ||x||$ + \item $||\cdot||_{L(V,W)}$ heißt Operatornorm + \item $||ST|| \leq ||S|| ||T||$ + \item $L(V, W)$ ist Banachrm. bzgl. Operatornorm +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Banachscher Fixpunktsatz} + +Sei $M$ metr. Raum und $f : M \rightarrow M$ strikte Kontraktion, d.h. $\exists q \in [0, 1) \forall x,y \in M : d(f(x), f(y)) \leq q d(x,y)$. Dann $\exists! x_* \in M : f(x_*) = x_*$ + +\subsection*{Kompaktheit} + +Eine Teilmenge eines endlichdim. norm. Vektorraum ist nach Bolzano-Weierstraß kompakt gdw. sie beschränkt und abgeschlossen ist. + +\subsubsection*{Homöomorphismus} + +Seien $K$, $N$ metrische Räume, $K$ kompakt, $A \subseteq K$ abgeschlossen, $f: K \rightarrow N$ stetig. Dann gilt: + +$f(A)$ ist in $N$ kompakt. + +$f$ injektiv $\Rightarrow f^{-1} : f(K) \rightarrow K$ stetig + +$f$ bijektiv $\Rightarrow f$ ist homömorph, d.h. bijektiv, stetig und hat stetige Umkehrabbildung. + +\subsubsection*{Satz vom Maximum} + +Sei $K$ komp. metr. Raum, $f: K \rightarrow \mathbb{R}$ stetig, dann: + +$\exists x_{\pm} \in K : f(x_+) = \displaystyle\max_{x \in K} f(x) \land f(x_-) = \displaystyle\min_{x \in K} f(x)$ + +\subsubsection*{Wegzusammenhang} + +Metr. Raum $M$ ist wegzusammenhängend gdw.: + +$\forall x, y \in M \exists w \in C([0,1], M) : w(0) = x \land w(1) = y$ + +\subsubsection*{Zwischenwertsatz} + +Seien $M$, $N$ metr. Räume, $M$ wegzusammenhängend und $f \in C(M, N)$. Dann ist $f(M)$ wegzusammenhängend. Für $N = \mathbb{R}$ ist $f(M)$ ein Intervall. + +\section*{Differentialrechnung in VRäumen} + +\subsection*{Kurventangente} + +Sei $J$ ein Intervall. Ein Weg ist stetige Abbildung $f = (f_1 \hdots f_m)^T : J \rightarrow \mathbb{R}^m$. Das Bild $\Gamma = f(J)$ heißt Kurve. $f$ ist Parametrisierung von $\Gamma$. + +Die Ableitung eines $C^1$-Wegs $f$ in $t_0 \in J$ ist def.: + +$f'(t_0) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (f(t_0 + h) - f(t_0)) = \begin{pmatrix} f_1'(t_0) \\ \vdots \\ f_m'(t_0)\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^m$ + +Für $f'(t_0) \neq 0$ ist Tangente $T(\mathbb{R})$ an $f(t_0)$ durch $T(t) = f(t_0) + (t - t_0)f'(t_0)$ mit $t \in \mathbb{R}$ gegeben. + +\subsection*{Partielle Ableitungen} + +$\partial_j f(x) = \partial_{x_j} f(x) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(x) := \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}(f(x+te_j)-f(x))$ + +\subsection*{Die Ableitung} + +Seien $V$, $W$ endlichdim. norm. VRäume, $D \subseteq V$ offen, $f: D \rightarrow W$, $x_0 \in D$, $r > 0$ mit $B_V(x_0, r) \subseteq D$ und betrachte $h \in V$ mit $0 < ||h||_V < r$. $f$ heißt differenzierbar in $x_0$, wenn $\exists A \in L(V, W)$ so, dass: + +$\displaystyle\lim_{||h||_V \to 0} \frac{1}{||h||_V}||f(x_0 + h) - f(x_0) - Ah||_W = 0$ + +$f'(x_0) := A$ ist Ableitung von $f$ bei $x_0$. Wenn $\forall x_0 \in D : f $ differenzierbar, dann ist $f$ diffbar auf $D$ und $f' : D \rightarrow L(V,W)$ ist Ableitung von $f$. + +\subsubsection*{Jacobimatrix} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}^l$ offen, $f : D \rightarrow \mathbb{R}^k$, $i \in \{1, ..., k\}$, $j \in \{1, ..., l\}$ und $f = (f_1 \hdots f_m)^T$, dann: + +$\partial f(x) = \begin{pmatrix} \partial_1 f_1(x) & \hdots & \partial_l f_1(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_1 f_k(x) & \hdots & \partial_l f_k(x) \end{pmatrix}$ + +\subsubsection*{Gradient} + +Wenn $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen und $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ bei $x \in D$ differenzierbar ist, dann: + +$\nabla f(x) := \begin{pmatrix} \partial_1 f(x) \\ \vdots \\ \partial_m f(x) \end{pmatrix} = f'(x)^T \in \mathbb{R}^m$ + +Identifiziert kritische Stellen mit $\nabla f(x) = 0$. + +\subsection*{Richtungsableitung} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ und $v \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\}$, dann ist Ableitung von $f$ bei $x$ in Richtung $v$: + +$\partial_v f(x) = \frac{\partial f}{\partial v}(x) := \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} (f(x+tv)-f(x))$ + +Insofern Grenzwert in $\mathbb{R}$ existiert. Weiterhin gilt: + +$\partial_v f(x) = (\nabla f(x) | v)$ für $f \in C^1(D, \mathbb{R})$. + +\subsubsection*{Hessematrix} + +Wenn $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen und $f \in C^n(D, \mathbb{R})$, dann $\nabla f \in C^1(D,\mathbb{R}^m)$ und somit: + +$\nabla^2 f(x) = \begin{pmatrix} \partial_1 \partial_1 f(x) & \hdots & \partial_m \partial_1 f(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_1 \partial_m f(x) & \hdots & \partial_m \partial_m f(x) \end{pmatrix}$ + + Diese Matrix ist nach dem Theorem von Schwarz, welches ebendies besagt, symmetrisch. Laplaceop. $\Delta f(x) = \partial_{11}f(x) + ... + \partial_{mm} f(x)$ ist Spur. + +\subsection*{Taylor in mehreren Dimensionen} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}^l$ offen, $f \in C^{n+1}(D, \mathbb{R})$, $x \in D$, $r > 0$ mit $\overline B(x,r) \subseteq D$ und $h \in \mathbb{R}^l$ mit $|h|_2 < r$, dann: + +$T_{n,x} f(x+h) = f(x) + \displaystyle\sum_{j=1}^n \frac{1}{j!} \displaystyle\sum_{\alpha_1, ..., \alpha_j=1}^l h_{\alpha_1} \cdot \hdots \cdot h_{\alpha_j} ( \partial_{\alpha_1} \hdots \partial_{\alpha_j} f )(x)$ + +Dies bedeutet insbesondere für $n=2$: + +$f(x+h) = f(x) + (\nabla f(x)|h) + \frac{1}{2}(\nabla^2 f(x)h|h) + O(|h|_2^3)$ + +\subsubsection*{Restglied} + +$R_{n,x} f(x+h) = f(x+h) - T_{n,x}f(x+h)$ + +\subsection*{Definitheit} + +Sei $A \in L(\mathbb{R}^m)$ symmetrisch, dann ist $A$: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=28mm] + \item[positiv definit] $\forall v \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\} : (Av|v) > 0$ + \item[negativ definit] $\forall v \in \mathbb{R}^m \setminus \{0\} : (Av|v) > 0$ + \item[positiv semidefinit] $\forall v \in \mathbb{R}^m : (Av|v) \geq 0$ + \item[negativ semidefinit] $\forall v \in \mathbb{R}^m : (Av|v) \leq 0$ +\end{description} + +\subsubsection*{Definitheit von $2\times 2$ Hessematrizen} + +Sei $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ eine symmetrische Matrix: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item positiv definit $\Leftrightarrow$ $a > 0, ad > b^2$ + \item negativ definit $\Leftrightarrow$ $a < 0, ad > b^2$ + \item positiv semidefinit $\Leftrightarrow$ $a \geq 0, d \geq 0, ad \geq b^2$ + \item negativ semidefinit $\Leftrightarrow$ $a \leq 0, d \leq 0, ad \geq b^2$ + \item indefinit $\Leftrightarrow ad < b^2$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Definitheit über Eigenwerte} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item positiv definit $\Leftrightarrow \forall \lambda \in Spec(A) : \lambda > 0$ + \item negativ definit $\Leftrightarrow \forall \lambda \in Spec(A) : \lambda < 0$ + \item positiv semidefinit $\Leftrightarrow \forall \lambda \in Spec(A) : \lambda \geq 0$ + \item negativ semidefinit $\Leftrightarrow \forall \lambda \in Spec(A) : \lambda \leq 0$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Extremstellen} + +Seien $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f \in C^2(D, \mathbb{R})$, $x \in D$, dann: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=28mm] + \item[Maximum] $\nabla^2 f(x)$ negativ semidefinit + \item[Minimum] $\nabla^2 f(x)$ positiv semidefinit +\end{description} + +Wenn $\nabla f(x) = 0$: + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=28mm] + \item[Maximum (strikt)] $\nabla^2 f(x)$ negativ definit + \item[Minimum (strikt)] $\nabla^2 f(x)$ positiv definit +\end{description} + +\subsection*{Umkehrsatz} + +Seien $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f \in C^1(D, \mathbb{R}^m)$, $x_0 \in D$, $y_0 = f(x_0)$, $f'(x_0) \in L(\mathbb{R}^m$ bijektiv, dann: + +$\exists U \subseteq D \text{ offen }, V \subseteq \mathbb{R}^m : x_0 \in U, y_0 \in V, f_U : U \rightarrow V \text{ bijektiv }, V \subseteq f(D), (f_U)^{-1} \in C^1(V, U), \forall x \in U : f'(x) \text{ invertierbar}$. Insbesondere: + +$\forall y=f(x) \in V : (f_U^{-1})'(y) = f'(f_U^{-1}(y))^{-1} = f'(x)^{-1}$ + +\subsubsection*{Diffeomorphismen} + +Seien $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f \in C^1(D, \mathbb{R}^m)$, $\tilde D = f(D)$, $f$ injektiv, $\forall x \in D: f'(x)$ invertierbar. Dann ist $\tilde D$ offen und $f : D \rightarrow \tilde D$ ein Diffeomorphismus, d.h. $D$, $\tilde D$ offen, $f$ bijektiv und $f \in C^1(D, \mathbb{R}^m)$, $f^{-1} \in C^1(\tilde D, \mathbb{R}^m)$ + +\subsubsection*{Polarkoordinaten} + +$\phi : D = (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2; (r, \varphi) \mapsto \begin{pmatrix} r \cos \varphi \\ r \sin \varphi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ + +\subsection*{Satz über implizit definierte Funktionen} + +Seien $D \subseteq \mathbb{R}^{m+k}$ offen, $f \in C^1(D, \mathbb{R}^k)$, $(x_0, y_0) \in D$ mit $f(x_0, y_0) = 0$ und $(\partial_y f)(x_0, y_0) \in L(\mathbb{R}^k)$ bijektiv. Dann $\exists \text{ offene } U_x \subseteq \mathbb{R}^m, U_y \subseteq \mathbb{R}^k$ sowie Abbildung $\varphi \in C^1(U, \mathbb{R}^k)$ mit: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $(x_0, y_0) \in U_x \times U_y \subseteq D$, $\varphi(U_x) \subseteq U_y$, $\varphi(x_0)=y_0$, $\forall (x, y) \in U_x \times U_y : \partial_y f(x,y) \in L(\mathbb{R}^k)$ bijektiv + \item $(x, y) \in U_x \times U_y \land f(x,y)=0 \\ \Leftrightarrow x \in U_x \land y=\varphi(x)$ + \item $\varphi'(x) = -[(\partial_y f)(x, \varphi(x))]^{-1}(\partial_x f)(x, \varphi(x))$ +\end{enumerate} + +Insbesondere auch $\forall x \in U_x : f(x, \varphi(x))=0$ + +\subsection*{$C^1$-Flächen} + +$M \subseteq \mathbb{R}^3$ ist eingebettete $C^1$-Fläche, wenn $\forall p \in M \exists \text{ offene } V, U \subseteq \mathbb{R}^3 : p \in V \land \psi : V \rightarrow U$ so, dass $\psi(V \cap M) = U \cap (\mathbb{R}^2 \times \{0\})$. $\psi$ heißt dann Karte. + +\subsubsection*{Charakterisierung} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $M$ ist $C^1$-Fläche + \item $\forall p \in M \exists \text{ offenes } D \subseteq \mathbb{R}^3 \land g \in C^1(D, \mathbb{R}) : \\ p \in D \land \forall w \in D : \nabla g(w) \neq 0 \land M \cap D = \{w\in D | g(w) = 0\}$ (lokale Nullstellenmenge) + \item $\forall p \in M \exists i < j \in \{1, 2, 3\}, \text{ offene } U_1 \subseteq \mathbb{R}^1, U_2 \subseteq \mathbb{R}^2, h \in C^1(U_2, U_1) : p_k \in U_1, (p_i, p_j) \in U_2$ mit $\{k\} = \{1, 2, 3\} \setminus \{j, j\}$, $h(U_2) \subseteq U_1$ und für $Z=\{x \in \mathbb{R}^3 | (x_i, x_j) \in U_2, x_k \in U_1\}$ gilt $M \cap Z = \{x \in \mathbb{R}^3 | (x_i, x_j) \in U_2, x_k = h(x_i, x_j)\}$ (lokaler Graph) + \item $\forall p \in M \exists \text{ offenes } U_0 \subseteq \mathbb{R}^2, W \subseteq \mathbb{R}^3, F \in C^1(U_0, \mathbb{R}^3) : p \in W, \forall (s, t) \in U_0 : Rg(F'(s, t)) = 2$ und $F: U_0 \rightarrow M \cap W$ bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung. (lokale Parameterisierung) +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Tangentialraum} + +Tangentialraum an $m$ bei $p=F(u_0)$ wobei $F$ lokale Parametrisierung: + +$T_p M = F'(u_0)(\mathbb{R}^2) = \left\{ F'(u_0) \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} \middle| s, t \in \mathbb{R} \right\}$ + +\subsubsection*{Normalenraum} + +Normalenraum an $M$ bei $p$ und $g(p)=0$ wobei $g$ lokale Nullstellenmenge: + +$N_p M = lin\{\nabla g(p)\} = \{t\nabla g(p) | t \in \mathbb{R}\}$ + +\subsection*{Lagrange} + +Seien $D \subseteq \mathbb{R}^l$ offen, $f \in C^1(D, \mathbb{R}$ und $g \in C^1(D, \mathbb{R}^k)$ mit $1 \leq k \leq l$. Setze $M=\{z\in D| g(z)=0\}$. $f$ besitze auf $M$ ein Extremum bei $z_0 \in M$ und $g'(z_0)$ habe Rang $k$. Dann existieren Lagrangesche Multiplikatoren $\lambda_1, ..., \lambda_k \in \mathbb{R}$ so, dass: + +$\nabla f(z_0) = \lambda_1\nabla g_1(z_0) + \hdots + \lambda_k\nabla g_k(z_0)$ + +Ferner gilt $g_1(z_0) = 0, \hdots, g_k(z_0)=0$. + +\section*{Kurvenintegrale} + +Sei $\gamma \in C([a, b], \mathbb{R}^m)$ ein Weg und $\Gamma = \gamma([a, b])$ die dazugehörige Kurve. Die Länge von $\Gamma$ wird durch Polygonzüge approximiert. Sei dazu $a \leq b$ und $\mathcal{Z}(a, b)$ die Menge aller Zerlegungen $Z = \{a = t_0, t_1, ..., t_{n-1}, t_n = b\}$. Für $Z \in \mathcal{Z}$ wird gesetzt: + +$l(\gamma, Z) = \sum_{j=1}^n |\gamma(t_j) - \gamma(t_{j-1})|_2$ + +\subsection*{Rektifizierbarkeit} + +$\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^m$ ist rektifizierbar, wenn: + +$l_{[a, b]}(\gamma) = ||\gamma||_{BV} := \sup_{Z\in \mathcal{Z}} l(\gamma, Z) < \infty$ + +$l(\gamma)$ ist dann die Länge von $\gamma$. + +\subsubsection*{Wegintegral} + +Sei $\gamma \in C^1([a, b], \mathbb{R}^m)$, dann ist $\gamma$ rektifizierbar mit: + +$l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|_2 dt$ + +\subsection*{Kurvenintegrale und Potentiale} + +Sei $\gamma \in C([a, b], \mathbb{R}^m)$ stückweise $C^1$, $\Gamma = \gamma([a, b])$. + +\subsubsection*{Kurvenintegral erster Art} + +Sei reelles $f \in C(\Gamma, \mathbb{R})$ gegeben: + +\vspace*{-5mm} +$$\int_\Gamma f d\gamma = \int_\Gamma f(x) d\gamma := \int_a^b f(\gamma(t)) | \gamma'(t) |_2 dt$$ + +\subsubsection*{Kurvenintegral zweiter Art} + +Sei vektorwertiges $F \in C(\Gamma, \mathbb{R}^m)$ gegeben: + +\vspace*{-5mm} +$$\int_\Gamma F \cdot dx = \int_\Gamma F(x) \cdot dx := \int_a^b (F(\gamma(t))|\gamma'(t)) dt$$ + +\subsubsection*{Wegunabhängigkeit} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, dann ist $F \in C(D, \mathbb{R}^m)$ wegunabhängig auf $D$, wenn für alle stückweisen $C^1$-Kurven $\gamma_1, \gamma_2 \in C([a, b], \mathbb{R}^m)$ in $D$ mit gleichem Anfangs- und Endpunkt gilt: + +$$\int_{\Gamma_1} F \cdot dx = \int_{\Gamma_2} F \cdot dx$$ + +Ein $\phi \in C^1(D, \mathbb{R})$ heißt Potential von $F$ auf $D$, wenn $\nabla\phi = F$ auf $D$. $F$ ist dann Gradientenfeld. + +Weiterhin ist $F$ wegunabhängig auf $D$ gdw. $F$ ein Potential $\phi$ auf $D$ hat. + +Ferner gilt dann: $\int_\Gamma F \cdot dx = \phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a))$ + +\subsubsection*{Poincar\'e} + +Sei $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen und sternförmig und $F \in C^1(D, \mathbb{R}^m)$ sei rektifizierbar. Dann hat $F$ ein Potential auf $D$, insbesondere auch auf jeder Kugel $B(x_0, r) \subseteq D$. + +\section*{Gewöhnliche Differentialgleichung} + +\subsection*{Lokale Lipschitzstetigkeit} + +Sei $M \subseteq \mathbb{R}^m$ und $J$ ein Intervall. $g : J \times M \rightarrow \mathbb{R}^k$ ist lokal Lipschitz in $x$, wenn: + +$\forall (t_0, x_0) \in J \times M \exists \delta = \delta(t_0, x_0) > 0, r = r(t_0, x_0) > 0, L = L(t_0, x_0) \geq 0 \forall t \in [t_0 - \delta, t_0 + \delta] \cap J \forall x, y \in \overline B(x_0, r) \cap M : |g(t,x) - g(t, y)|_2 \leq L|x-y|_2$. + +$f$ Lipschitz $\Rightarrow f$ lokal Lipschitz $\Rightarrow f$ stetig. + +$f$ stetig differenzierbar $\Rightarrow f$ lokal Lipschitz. + +Ein diff. $f$ ist Lipschitz gdw. $\partial_x^{(1)} f$ beschränkt ist. + +\subsection*{Anfangswertprobleme} + +Seien $J \subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall, $t_0 \in J$ mit $t_0 < \sup J$, $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f \in C(J \times D, \mathbb{R}^m)$ und $u_0 \in D$. + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + u'(t) &= f(t, u(t)), t\geq t_0, t\in J \\ + u(t_0) &= u_0 +\end{align*} + +Für das Anfangswertproblem wird ein $t_1 \in J$ mit $t_1 > t_0$ und eine eindeutige Lösung $u \in C^1([t_0, t_1], \mathbb{R}^m)$ auf $[t_0, t_1]$ gesucht. + +\subsubsection*{Lokale Lipschitzstetigkeit im Kontext} + +Sei $f \in C(J \times D, \mathbb{R}^k)$, $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $J$ ein Intervall und es existieren alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial}{\partial x_j} f \in C(J \times D, \mathbb{R}^k)$ für $j \in \{1, \hdots, m\}$. + +Dann ist $f$ lokal Lipschitz in $x$. + +\subsubsection*{Picard-Lindelöf (lokal)} + +Seien $J$ ein Intervall, $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $f \in C(J \times D, \mathbb{R}^m)$ lokal Lipschitz in $x$, $u_0 \in D$, $t_0 \in J$ mit $t_0 < \sup J$. Dann gelten: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\exists t_1 = t_1(u_0) > t_0 $ mit $t_1 \in J$ und eine eindeutige Lösung $u$ auf $[t_0, t_1]$ von $u'(t) = f(t, u(t))$ mit $u(t_0) = u_0$ + \item $u'(t) = f(t, u(t))$ mit $u(t_0) = u_0$ besitze zwei Lösungen $v_1$ und $v_2$ auf Intervallen $[t_0, T_1] \subseteq J$ bzw. $[t_0, T_2] \subseteq J$. Dann stimmen $v_1$ und $v_2$ auf $[t_0, T_3]$ mit $T_3 = \min\{T_1, T_2\}$ überein. +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Picard-Lindelöf (maximal)} + +Unter den Voraussetzungen von Picard-Lindelöf (lokal) sei $u_0 \in D$, dann gilt weiterhin: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\exists$ maximale Existenzzeit $\overline t(u_0) \in (t_0, \sup J]$ und eine eindeutige maximale Lösung $u$ von $u'(t) = f(t, u(t))$ mit $u(t_0) = u_0$ auf $[t_0, \overline t(u_0))$ + \item Wenn $\overline t(u_0) < \sup J$, dann $\exists t_n \in (t_0, \overline t(u_0))$ mit $\lim_{n \to \infty} t_n = \overline t(u_0)$ so, dass die Blow-Up Bedingung erfüllt ist: $\lim_{n \to \infty} |u(t_n)|_n = \infty$ oder $\lim_{n \to \infty} \inf_{x \in \partial D} |u(t_n) - x|_2 = 0$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Gronwallsche Ungleichung} + +Sei $J$ ein Intervall, $\varphi \in C(J)$, $\varphi \geq 0$, $t_0 = \min J$ und $a, b \geq 0$ Konstanten mit $\forall t \in J : 0 \leq \varphi(t) \leq a+b \int_{t_0}^t \varphi(s) ds$. Dann gilt: $\forall t \in J : \varphi(t) \leq a e^{b(t-t_0)}$ + +\subsubsection*{Obergrenze des Existenzintervall} + +Seien $J = [t_0, \infty)$, $D \subseteq \mathbb{R}^m$ offen, $M \subseteq \mathbb{R}^m$ abgeschlossen mit $M \subseteq D$, $f \in C(J \times D, \mathbb{R}^m)$ sei lokal Lipschitz in $x$, $u$ die maximale Lösung von $u'(t) = f(t, u(t))$ auf $[t_0, t(u_0))$ und es gelte $\forall t_0 \leq t \leq \overline t(u_0) : u(t) \in M$. Dann gelten: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall b > t_0 \exists c(b) \geq 0 : \forall t \in [t_0, b], x \in M : (f(t,x)|x) \leq c(b) (1+|x|_2^2) \Rightarrow \overline t(u_0) = \infty$ + \item Sei speziell $f: D \rightarrow \mathbb{R}^n$ und $\exists c \geq 0$ mit $\forall x \in M : (f(x)|x) \leq c(1+|x|_2)$, dann $\overline t(u_0) = \infty$ +\end{enumerate} + +Bedingung (a) folgt aus: $\forall b > t_0 \exists \tilde c(b) \geq 0 \\ \hspace*{4mm} \forall t \in [t_0, b], x \in M : |f(t,x)|_2 \leq \tilde c(b)(1+|x|_2)$ + +Bedingung (b) folgt aus: $\exists \tilde c > 0 \forall x \in M : \\ \hspace*{4mm} |f(x)|_2 \leq \tilde c(1+|x|_2)$ + +\subsubsection*{Formulierung als Problem 1. Ordnung} + +Jedes Anfangswertproblem $k$-ter Ordnung lässt sich in ein Problem 1. Ordnung umschreiben. + +Beispielsweise: Das Problem 2. Ordnung $u''(t)=h(t)-u(t)+u'(t)^2$ mit $u(0)=u_0$ und $u'(0)=u_1$ sowie $h \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ wird formuliert als Problem 1. Ordnung: + +$$\begin{pmatrix}u(t)\\u'(t)\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix}u'(t)\\u''(t)=h(t)-u(t)+u'(t)^2\end{pmatrix}$$ + +Sei $v_0(t):=u(t)$, $v_1(t):=u'(t)$ und $v(t):=\begin{pmatrix}v_0(t)\\v_1(t)\end{pmatrix}$ + |