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diff --git a/content/dgl.tex b/content/dgl.tex index 804af08..030cc39 100644 --- a/content/dgl.tex +++ b/content/dgl.tex @@ -51,3 +51,39 @@ Weiter gelte \(\phi \leq \psi\) auf \([0,b)\). Dann gilt: \subsection*{Eindeutige Lösbarkeit} Sei \(D = (a,b) \times \R^m\) mit \(-\infty \leq a < b \leq \infty\) und \(f : D \to \R^k\) erfülle die Vor. von Picard-Lindelöf. Gilt weiter \(\|f(t,x)\| \leq \alpha + \beta \|x\|\) für \(\alpha, \beta \geq 0\), dann ist das AWP auf \((a,b)\) eindeutig lösbar. + +\section*{Autonome DGL} + +Sei \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) und \(g : D \to \R^p\). + +Die DGL \(x'(t)=g(x(t))\) heißt \emph{autonom}. + +\subsection*{Stationäre Stelle} + +Sei \(x_0 \in D\) mit \(g(x_0)=0\) von \(x'(t)=g(x(t))\) für \(g : D \to \R^p\). Dann ist \(x_0\) eine stationäre Stelle. + +\spacing + +Sei \(g \in C(D,\R^p)\), ex. Lsg. \(x: [t_0,\infty) \to \R^p\) und \(x_0 := \lim_{t \to \infty} x(t)\). Dann ist \(x_0\) stationäre Stelle und es gilt \(x'(t) \to 0 \ (t \to \infty)\) + +\subsection*{Monotone Lösung für \(p=1\)} + +Sei \(D \subseteq \R\) Intervall, \(g \in C(D,\R)\) und \(x : \J \to \R\) eine Lsg. von \(x'(t)=g(x(t))\). Dann ist \(x\) monoton. + +\subsection*{Fundamentalsystem} + +Sei \(x'=Ax\) eine homogene lineare DGL. Ein \emph{Fundamentalsystem} ist eine Basis \(\{x_1,\dots,x_n\}\) des Lösungsraums: \[\mathcal{L} := \left\{ x \in C^1([a,b],\R^p) \middle| x=\sum_{k=1}^n a_k x_k, \ a_1,\dots,a_n \in \R \right\}\] + +\subsection*{Bahn, Orbit, Trajektorie} + +Seien \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) offen, \(\J \subseteq \R\) und \(f : D \to \R^p\) lokal Lipschitz. + +Ist \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\) so heißt \(x(\J)\) \emph{Bahn}, \emph{Orbit}, \emph{Trajektorie} von \(x'(t)=f(x(t))\). + +\subsection*{Erstes Integral} + +Sei \(H \in C^1(D,\R)\). + +\(H\) heißt \emph{erstes Integral} von \(x'(t)=f(x(t))\) gdw.: \[\forall x \in D : H'(x) \cdot f(x) = 0\] + +Sei weiter \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\). Dann ex. \(c \in \R\) s.d.: \(\forall t \in \J : H(x(t))=c\) |