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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index c9194c0..3571642 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -399,3 +399,32 @@ Dann sind $f$ und $f_n$ für alle $n \in \N$ integrierbar und: \end{align*} Mit $N := \{|f| = \infty\} \cup \cup_{n \in \N} \{|f_n| = \infty\}$ Nullmenge. + +\subsection*{Stetigkeitssatz} + +Sei $M$ metrischer Raum, $t_0 \in M$, $(X,\A,\mu)$ Maßraum und $f : M \times X \to \R$ erfülle: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall t \in M$ ist $x \mapsto f(t,x)$ messbar + \item Es ex. ib. $g : X \to [0,\infty]$ und Nullmengen $N_t$ für $t \in M$, dass $|f(t,x)| \leq g(x)$ für alle $t \in M$ und $x \in X \setminus N_t$ gilt + \item Es ex. Nullmenge $N$ s.d. $t \mapsto f(t,x)$ für $x \in X \setminus N$ bei $t_0$ stetig ist +\end{enumerate} + +Dann ist $\forall t \in M$ die Fkt. $X \to \R; x \mapsto f(t,x)$ ib. und es gilt: + +\vspace{-2mm} +$$\lim_{t \to t_0} \int_X f(t,x) d\mu(x) = \int_X f(t_0,x) d\mu(x)$$ + +\subsection*{Differentiationssatz} + +Sei $U \subseteq \R^k$ offen, $j \in \{1,\cdots,k\}$, $(X,\A,\mu)$ Maßraum und $f : U \times X \to \R$ erfülle: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall t \in U : x \mapsto f(t,x)$ ist integrierbar + \item $\exists$ Nullmenge $N_1 \forall t \in U \land x \in X \setminus N_1 : \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ existiert + \item $\exists$ Nullmenge $N_2$ und ib. $g : X \to [0,\infty] : \forall x \in X \setminus N_2, t \in U : |\frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x)| \leq g(x)$ +\end{enumerate} + +Dann ist $forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es ex. die partielle Ableitung: + +$$\frac{\partial}{\partial t_j} \int_X f(t,x) dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x) dx$$ |