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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 32a4902..1c9dabb 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -503,3 +503,15 @@ Für $s \in S_{4,\Delta}$, $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}\}$ sind mögliche Rand \end{enumerate} Ist eine dieser Randbedingungen erfüllt, so ist $s$ eindeutig bestimmt. Ferner gilt für alle anderen interpolierenden $y \in \mathcal{C}^2(a,b)$: $\|s''\|_2 < \|y''\|_2$ + +\subsubsection*{Momente von Splines} + +$M_j = s''(t_j)$ für $j = 0, \cdots, l+1$ sind die Momente des Splines $s \in S_{4,\Delta}$. Aus diesen Momenten kann der Spline vollständig rekonstruiert werden. + +Da $s_j := s|_{[t_j,t_{j+1}]}$ ein kubisches Polynom ist gilt für $s_j'' = s''|_{[t_j,t_{j+1}]}$: + +$$s_j''(t) = M_j \frac{t_{j+1}-t}{h_{j+1}} + M_{j+1} \frac{t-t_j}{h_{j+1}}$$ + +Hierbei ist $h_{j+1} := t_{j+1} - t_j$ die Länge des Teilintervalls $[t_j,t_{j+1}]$. + +Zweimalige Intergration liefert an dieser Stelle $s_j$, die Integrationskonstanten lassen sich aus den Interpolationsbedingungen berechnen. |