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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 50805b6..2393a1f 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -441,23 +441,19 @@ Entsprechend gilt: $V = U \oplus U^\perp$ \item[Abstand] $d(a, U) = ||u^\perp|| = ||a - \Pi_U(a)||$ \end{description} -\subsection*{Affine Teilräume} +\subsubsection*{Orthogonale Matrizen} -$A := v + W$ ist affiner Teilraum von $V$ mit $W \leq V$ Vektorräume und $v \in V$. +$A$ ist orthogonale Matrix $\Rightarrow det(A)=\pm 1$ -\subsubsection*{Affine Geraden} +$\forall \lambda \in Spec(A) : |\lambda| = 1$ -Seien $a, b \in V$, dann ist die affine Gerade durch $a$ und $b$: $\overline{a, b} := \{\lambda a + (1 - \lambda)b | \lambda \in K\} = a + K*(b-a)$ - -Für $K = \mathbb{R}$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\mathbb{R}$-Vektorraum: - -$[a, b] := \{\lambda a + (1 - \lambda)b|0 \leq \lambda \leq 1\}$ (Strecke $\overrightarrow{ab}$) +Orthogonale Matrizen sind normal und somit diagonalisierbar. \section*{Isometrien} Für metrische Räume $(X, d)$ und $(Y, e)$ ist $\phi : X \rightarrow Y$ eine Isometrie oder abstandserhaltende Abbildung, wenn: -$\forall x_1, x_2 \in X : d(x_1, x_2) = e(\phi(x_1), \phi(x_2))$ +$\forall x_1, x_2 \in X : d(x_1, x_2) = d(\phi(x_1), \phi(x_2))$ $Iso(X, d)$ ist die Menge aller invertierbaren Isometrien von $X$ nach $X$. @@ -474,6 +470,41 @@ Seien $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $V$ ein $K$-Vektorraum mit \item $\alpha \in \mathbb{K}$ mit $|\alpha|=1 \land V \neq \{0\}$, dann gibt es Isometrie von $V$ mit Eigenwert $\alpha$ \end{enumerate} +\subsection*{Isometrien und Orthonormalbasen} + +Sei $V$ endl. dim. VRaum mit SKP, $\phi \in End(V)$ und $B$ ONB, dann: + +\vspace*{-5mm} +\begin{align*} + \phi \text{ ist Isometrie } &\Leftrightarrow \phi(B) \text{ ist ONB von } V \\ + &\Leftrightarrow D_{BB}(\phi) \text{ orthogonal / unitär} +\end{align*} + +\subsection*{Isometrienormalform} + +Sei $A \in U(n)$, dann gibt es $S \in U(n)$, sodass $S^{-1} A S$ Diagonalmatrix. + +Sei $A \in O(n)$, $d_+ := dim(Eig(A,1))$, $d_- := dim(Eig(A, -1))$ und $l = \frac{1}{2}(n - d_+ - d_-)$, dann existiert $S \in O(n)$, sodass $S^{-1} A S$ die folgende Blockgestalt hat: + +$$\begin{pmatrix} + I_{d_+} & & & & \\ + & -I_{d_i} & & & \\ + & & D_{\psi_1} & & \\ + & & & \ddots & \\ + & & & & D_{\psi_l} +\end{pmatrix}$$ + +Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & cos(\psi_i) \end{pmatrix}$ Drehkästchen ist. + +\subsubsection*{Bestimmung Isometrienormalform} + +\begin{enumerate}[leftmargin=4mm] + \item Reelle und komplexe Eigenwerte bestimmen + \item Hauptdiagonale mit reellen Eigenwerten entsprechend $\mu_a$ befüllen + \item Drehkästchen abhg. der komplexen Eigenwerte bestimmen wobei $cos(\psi)$ dem reellen und $sin(\psi)$ dem komplexen Anteil enstspricht + \item $S$ wird aus Orthonormalbasen der Eigenräume zusammengesetzt +\end{enumerate} + \section*{Selbstadjungierte Abbildungen} Sei $V$ Vektorraum mit SKP über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und $\phi \in End(V)$. Dann ist $\phi$ selbstadjungiert, wenn für $\forall v, w \in V$ gilt: $\langle \phi(v), w \rangle = \langle v, \phi(w) \rangle$. @@ -486,6 +517,12 @@ Orthogonale Projektion $\pi$ ist selbstadjungiert. $A^* := \overline{A^T}$, $A = A^* \Leftrightarrow A \text{ ist hermitesch}$ +\subsection*{Normale Matrizen} + +Sei $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$, dann: $A^* \cdot A = A \cdot A^*$ + +Sei $B \in \mathbb{R}^{n\times n}$, dann: $B^T \cdot B = B \cdot B^T$ + \subsection*{Spektralsatz} Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ mit SKP und $\phi \in End(V)$. Dann ist äquivalent: @@ -509,3 +546,14 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $A \neq \emptyset$ und $\tau : V \times A \rightarro \item $\forall P, Q \in A \exists ! v \in V : \tau(v, P) = Q$ \end{enumerate} +\subsection*{Affine Teilräume} + +$A := v + W$ ist affiner Teilraum von $V$ mit $W \leq V$ Vektorräume und $v \in V$. + +\subsubsection*{Affine Geraden} + +Seien $a, b \in V$, dann ist die affine Gerade durch $a$ und $b$: $\overline{a, b} := \{\lambda a + (1 - \lambda)b | \lambda \in K\} = a + K*(b-a)$ + +Für $K = \mathbb{R}$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\mathbb{R}$-Vektorraum: + +$[a, b] := \{\lambda a + (1 - \lambda)b|0 \leq \lambda \leq 1\}$ (Strecke $\overrightarrow{ab}$) |