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diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex index 0b6b58b..d4af170 100644 --- a/numerik_1.tex +++ b/numerik_1.tex @@ -370,3 +370,56 @@ Das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuum liefert die Lösung $Ax=b Das GMRES-Verfahren ist also durch die nicht Skalarprodukt-induzierte Norm $\|NA\cdot\|_2$ induziert. \section*{Interpolation} + +Interpolation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\varphi(t_i) = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots, n$. Approximation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\|\varphi - f\|$ möglichst klein in geeigneter Norm. + +\subsection*{Klassische Polynom-Interpolation} + +Zu gegebenen Knoten $t_0 < \cdots < t_n$ und Stützwerten $f_i = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots,n$ wird Polynom $ \in \Pi_n$ gesucht s.d. $P(t_i)=f_i$ für $i = 0,\cdots,n$. + +Zu $n+1$ Stützwerten $f_i$ und paarweise verschiedenen Knoten $t_i$ existiert dabei genau ein solches Interpolationspolynom $P=P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$. + +\subsection*{Vandermonde-Matrix} + +$$\begin{pmatrix} +1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ +1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ +\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ +1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}a_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} = +\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}$$ + +Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, was jedoch sehr aufwändig ist. + +\subsection*{Lagrange-Basis} + +Basis $\{L_{n,0},\cdots,L_{n,n}\}$ von $\Pi_n$ abhg. $t_0 < \cdots < t_n$ wg. $L_{n,k}(t_i) = \delta_{k,i} = \begin{cases}1 & k=i \\ 0 & sonst\end{cases}$ + +$$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$ + +Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$ + +\vspace{2mm} + +Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an. + +\subsubsection*{Lemma von Aitken} + +$P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$ +\vspace{-2mm} +$$\frac{(t_0-t)P(f|t_i,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ + +\subsubsection*{Schema von Neville} + +Sei $t \in \R$ fest, $P_{i,k}(t)=P_{i,k}=P(f|t_{i-k},\cdots,t_i)(t)$ für $i\geq k$. Dann ist insb. $P_{i,0}=f_i$ und $P_{n,n}=P(f|t_0,\cdots,t_n)(t)$ kann rekursiv mit dem \emph{Schema von Neville} berechnet werden: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} +P_{i,k} &= \frac{(t_{i-k}-t)P_{i,k-1} - (t_i-t)P_{i-1,k-1}}{t_{i-k}-t_i} \\ + &= \frac{t-t_{i-k}}{t_i-t_{i-k}} P_{i,k-1} - \frac{t-t_i}{t_i-t_{i-k}} P_{i-1,k-1} +\end{align*} + +\subsection*{Tschebyscheff-Knoten} + +\section*{Splines} |