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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex index fac49f3..18f9bf1 100644 --- a/analysis_3.tex +++ b/analysis_3.tex @@ -55,3 +55,46 @@ $\mathcal{B}_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\math \mathcal{B}_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\ &= \sigma(\{(a, b] | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \end{align*} + +\section*{Maße auf $\sigma$-Algebren} + +Sei $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. + +$\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\mathcal{A}$ gdw.: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\mu(\emptyset) = 0$ + \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathcal{A} :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j) = \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Maßraum} + +Ein Tripel $(X, \mathcal{A}, \mu)$ ist Maßraum. Ein endlicher Maßraum erfüllt zusätzlich $\mu(X) < \infty$. + +Ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt $\mu(X) = 1$. + +\subsection*{Punkt- / Diracmaß} + +Für fest gewählte $\mathcal{A} = \mathcal{P}(X)$, $x \in X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für $A \subseteq X$ definiert: + +$$\delta_x(A) := \begin{cases} + 1 & x \in A \\ + 0 & x \notin A +\end{cases}$$ + +Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\mathcal{A}$ genannt. + +\subsection*{Eigenschaften von Maßen} + +Sei $(X, \mathcal{A}, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \mathcal{A}$ für $j \in \mathbb{N}$. + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=26mm] + \item[Monotonie] $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ + \item[$\sigma$-Subadditivität] $\mu(\dot\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j) \leq \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ + \item[Stetigkeit (unten)] $A_j \uparrow \Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j)$ + \item[Stetigkeit (oben)] $A_j \downarrow \land \hspace*{1mm} \mu(A_1) < \infty \\ \hspace*{4mm}\Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcap_{j\in \mathbb{N}} A_j)$ +\end{description} + +Für $\mu(A) < \infty$ folgt $\mu(B\setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$. + +Für endliche Maße gilt insb. $\mu(A^c) = \mu(X) - \mu(A)$. |