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diff --git a/content/numerik_dgl.tex b/content/numerik_dgl.tex index 12c2363..dadb2f0 100644 --- a/content/numerik_dgl.tex +++ b/content/numerik_dgl.tex @@ -146,7 +146,7 @@ c & A \\ Hierbei ist $A$ strikte untere Dreiecksmatrix. -\subsection*{Konsistentsbedingung mit Ordnung 1} +\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung 1} Konsistent mit Ordnung 1 gdw. $\displaystyle\sum_{i=1}^s b_i = 1$ @@ -229,6 +229,46 @@ h_{i+1} &:= \min\{h, b-x_{i+1}\} Ansonsten verwerfe Schritt mit $h_i := h$. +\section*{Stabilität von DGLs} + +Sei $y' = f(x,y), \ x \in [0,\infty), y(x) \in \R^n$ System von $n$ DGLs und habe $\forall (x_0, y_0) \in [0,\infty) \times \R^n$ eindeutige Lösung $\varphi \in \mathcal{C}^1([0,\infty))$. + +\spacing + +Diese Lösung $\varphi$ ist \emph{stabil}, wenn: + +$\forall \epsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0 \ \forall y \in \mathcal{C}^1([0,\infty)) : \\ \|\varphi(x_0) - y(x_0)\| < \delta \implies \forall x \geq x_0 : \|\varphi(x)-y(x)\| < \epsilon$. + +\spacing + +Diese Lösung $\varphi$ ist \emph{asymptotisch stabil}, wenn sie stabil ist und zusätzlich $\exists \ \delta > 0 \ \forall y \in \mathcal{C}^1([0,\infty)) : \|\varphi(x_0)-y(x_0)\| < \delta \implies \displaystyle\lim_{x \to \infty} \|\varphi(x)-y(x)\| = 0$. + +\subsection*{Stabilität von linearen DGLs} + +Sei $y'=Ay, \ y(x_0) = y_0$ mit $A \in \R^{n \times n}$ eine lineare DGL mit Lösung $y(x) = e^{(x-x_0)A}y_0$. + +Hierbei ist $e^{xA} := \sum_{k=0}^\infty \frac{(xA)^k}{k!} \in \R^{n \times n}$ gegeben. + +\spacing + +$y$ ist \emph{stabil} gdw. $\forall \lambda \in \sigma(A) : \text{Re}(\lambda) \leq 0$ und für $\lambda \in \sigma(A)$ mit $\text{Re}(\lambda) = 0$ gilt $\mu_a(A,\lambda) = \mu_g(A,\lambda)$. + +\spacing + +$y$ ist \emph{asymptotisch stabil} gdw. $\forall \lambda \in \sigma(A) : \text{Re}(\lambda) < 0$. + +\subsection*{Steife Differentialgleichungen} + +Eine asymptotisch stabile DGL $y'=Ay+b$ ist \emph{steif}, wenn die negativen Realteile der Eigenwerte von $A$ sich um Größenordnungen unterscheiden: + +$$\gamma := \frac{\max_{\lambda \in \sigma(A)}{|\text{Re}(\lambda)|}}{\min_{\lambda \in \sigma(A)}{|\text{Re}(\lambda)|}}$$ + +Typischerweise bewegt sich das \emph{Steifheitsmaß} $\gamma$ für reale Beispiele zwischen ${10}^3$ und ${10}^6$. + +\spacing + +Zur numerischen Lösung steifer DGLs sind implizite Verfahren geeignet. + \section*{Mehrschrittverfahren} \section*{Partielle Differentialgleichungen} |