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diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex index 4eb7256..4979cb0 100644 --- a/content/markov.tex +++ b/content/markov.tex @@ -160,7 +160,7 @@ $\P_\nu(X_n = j) = \sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij}^{(n)} = \nu(j)$ Sei $(X_n)$ irreduzibel und rekurrent und $k \in S$. Dann ist ein Maß $\gamma_k$ definiert mit Eigenschaften: -$\gamma_k(i) := \mathbb{E}_k\left[\displaystyle\sum_{n=1}^{T^k} \mathbbm{1}_{[X_n=i]}\right]$ für bel. $k \in S$ +$\gamma_k(i) := \mathbb{E}_k\left[\displaystyle\sum_{n=1}^{T_k} \mathbbm{1}_{[X_n=i]}\right]$ für bel. $k \in S$ \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\gamma_k$ ist ein invariantes Maß @@ -185,3 +185,31 @@ m_i :&= \mathbb{E}_i[T_i] = \sum_{n=1}^\infty n \cdot \P_i(T_i = n) + \infty \cd $i \in S$ ist \emph{positiv rekurrent}, wenn $m_i < \infty$. $i \in S$ ist \emph{nullrekurrent}, wenn $m_i = \infty$. + +\subsubsection*{Positive Rekurrenz und Verteilung} + +Für irreduzible $(X_n)$ sind äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item Es existiert eine stationäre Verteilung + \item $\exists i \in S : i$ ist positiv rekurrent + \item $\forall i \in S : i$ ist positiv rekurrent +\end{enumerate} + +Stationäre Verteilung ist eind. geg.: $\pi(i) = \frac{1}{m_i}$ + +Sei $\nu$ stationäre Verteilung, dann gilt: + +$$\nu(i) = \frac{\gamma_k(i)}{\sum_{j \in S} \gamma_k(j)} = \frac{\mathbb{E}_k[\sum_{n=1}^{T_k} \mathbbm{1}_{X_n = i}]}{\mathbb{E}_k[T_k]}$$ + +$\nu(i)$ ist also durchschnittlicher Bruchteil der Zeit, den die MK in $i \in S$ verbringt. + +\subsection*{Trichotomie irreduzibler Markov-Ketten} + +Eine irreduzible MK entspricht einem der Fälle: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item MK ist transient und es existiert keine stationäre Verteilung. + \item MK ist nullrekurrent und es existiert ein bis auf Vielfache eindeutiges invariantes Maß aber keine stationäre Verteilung. + \item MK ist positiv rekurrent, es gilt $\forall i, j \in S : \mathbb{E}_i[T_j] < \infty$ und es ex. stationäre Verteilung. +\end{enumerate} |