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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 46d4daa..05f6135 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -3,8 +3,9 @@ \newcommand{\B}{\mathcal{B}} \newcommand{\C}{\mathcal{C}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} -\newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} +\newcommand{\J}{\mathcal{J}} +\renewcommand{\L}{\mathcal{L}} \section*{Nützliches aus der Mengenlehre} @@ -263,3 +264,57 @@ Sei $f : X \to \overline R$ messbar, dann gelten: \end{enumerate} $f : X \to \overline\R$ ist $\A-\overline\B_1$-mb. gdw. einfache Fkt. $f_n : X \to \R$ ex., welche punktweise gegen $f$ konv. + +\section*{Lebesgue-Integral} + +\subsection*{Integral für nichtnegative einfache Fkt.} + +$$\int f d\mu = \int_X f(x) d\mu(x) := \sum_{j=1}^n y_j \mu(A_j) \in [0, \infty]$$ + +\subsection*{Integral für nichtnegative Funktionen} + +Sei $f : X \to [0, \infty]$ $\A-\overline\B_+$-mb. und $f_n$ mit $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ gegeben: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + \int_X f(x) d\mu(x) :&= \lim_{n \to \infty} \int_X f_n(x) d\mu(x) \\ + &= \sup_{n \in \N} \int_X f_n(x) d\mu(x) \in [0,\infty] +\end{align*} + +Grundlegende Integraleigenschaften sind erfüllt. + +\subsection*{Monotone Konvergenz} + +Sei $(X, \A, \mu)$ ein Maßraum, $f_n : X \to [0,\infty]$ $\A-\overline\B_+$-mb. und $f_n \leq f_{n+1}$. Dann ist $f : X \to [0,\infty]$ $\A-\overline\B_+$-mb. und es gilt: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + \int_X f(x) d\mu(x) &= \int_X \lim_{n \to \infty} f_n(x) d\mu(x)\\ + &= \lim_{n \to \infty} \int_X f_n(x) d\mu(x) +\end{align*} + +Dies gilt nicht ohne Monotonie oder für eine fallende Folge $(f_n)_{n \in \N}$. + +\subsection*{Integral für $\overline\R$-wertige Funktionen} + +Sei $f : X \to \overline\R$ eine $\A-\overline\B_1$-mb. Funktion. Dann sind auch $f_+$ und $f_-$ mb. $f$ ist Lebesgue-integrierbar, wenn: + +\vspace{-4mm} +$$\int_X f_+(x) d\mu(x) < \infty \text{ und } \int_X f_-(x) d\mu(x) < \infty$$ + +Das Lebesgue-Integral ist dann definiert durch: + +$$\int f d\mu = \int_X f_+(x) d\mu(x) - \int_X f_-(x) d\mu(x)$$ + +$\L^1(X,\A,\mu) = \L^1(\mu) = \L^1(X) := \{ f : X \to \R | f \text{ ib.}\}$ + +\subsubsection*{Charakterisierung der Integrierbarkeit} + +Für $\A-\overline\B_1$-mb. Fkt. $f : X \to \overline\R$ sind äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $f$ ist integrierbar + \item Es ex. integrierbare Fkt. $u, b : X \to [0,\infty]$ mit $f=u-v$ wobei $\not\exists x \in X : u(x)=v(x)=\infty$ + \item Es ex. ib. Fkt. $g : X \to [0,\infty]$ mit $|f| \leq g$ + \item $|f| : X \to [0,\infty]$ ist ib d.h. $\int_X |f| d\mu < \infty$ +\end{enumerate} |