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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index c1cad04..682dffe 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -419,6 +419,7 @@ $D_B(v) = (\langle v, b_i\rangle)_{1\leq i \leq n}$ Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $M \subseteq V$. +\vspace*{-2mm} \begin{equation*} \begin{aligned} M^{\perp} :&= \{v \in V | \forall m \in M : m \perp v \} \\ @@ -449,11 +450,19 @@ Entsprechend gilt: $V = U \oplus U^\perp$ \subsubsection*{Orthogonale Matrizen} +$A$ heißt orthogonal, wenn $A^TA=I$ gilt. + $A$ ist orthogonale Matrix $\Rightarrow det(A)=\pm 1$ $\forall \lambda \in Spec(A) : |\lambda| = 1$ -Orthogonale Matrizen sind normal und somit diagonalisierbar. +Orthogonale / unitäre Matrizen sind normal. + +\subsubsection*{Unitäre Matrizen} + +$A$ heißt unitär, wenn $\overline{A^T}A = I$ gilt. + +$A$ ist unitäre Matrix $\Rightarrow |det(A)|=1$ \subsection*{Iwasawa- / QR-Zerlegung} @@ -466,10 +475,10 @@ q_1 & \hdots & q_n \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\langle a_1, q_1 \rangle & \langle a_2, q_1 \rangle & \hdots & \langle a_n, q_1 \rangle \\ -0 & \langle a_2, q_2 \rangle & \hdots & \langle a_n, q_n \rangle \\ +\langle q_1, a_1 \rangle & \langle q_1, a_2 \rangle & \hdots & \langle q_1, a_n \rangle \\ +0 & \langle q_2, a_2 \rangle & \hdots & \langle q_2, a_n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -0 & 0 & \hdots & \langle a_n, q_n \rangle +0 & 0 & \hdots & \langle q_n, a_n \rangle \end{pmatrix}$$ \vspace*{-2mm} @@ -554,6 +563,14 @@ Sei $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$, dann: $A^* \cdot A = A \cdot A^*$ Sei $B \in \mathbb{R}^{n\times n}$, dann: $B^T \cdot B = B \cdot B^T$ +Normale Matrizen sind unitär diagonalisierbar. + +\subsection*{Symmetrische reelle Matrizen} + +Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte. + +Es existiert eine orthogonale Matrix $S \in O(n)$ so, dass $D_A = S^TAS$ eine Diagonalmatrix ist. + \subsection*{Spektralsatz} Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ mit SKP und $\phi \in End(V)$. Dann ist äquivalent: @@ -577,6 +594,8 @@ Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $A \neq \emptyset$ und $\tau : V \times A \rightarro \item $\forall P, Q \in A \exists ! v \in V : \tau(v, P) = Q$ \end{enumerate} +Hinweis: $A$ kann aber muss kein Vektorraum sein. + \subsection*{Affine Teilräume} $A := v + W$ ist affiner Teilraum von $V$ mit $W \leq V$ Vektorräume und $v \in V$. @@ -588,3 +607,42 @@ Seien $a, b \in V$, dann ist die affine Gerade durch $a$ und $b$: $\overline{a, Für $K = \mathbb{R}$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\mathbb{R}$-Vektorraum: $[a, b] := \{\lambda a + (1 - \lambda)b|0 \leq \lambda \leq 1\}$ (Strecke $\overrightarrow{ab}$) + +\subsection*{Affine Abbildungen, Affinitäten} + +Seien $A$, $B$ affine Räume mit Translationsvektorräumen $V$ und $W$ über $\mathbb{K}$. Abbildung $\phi : A \rightarrow B$ induziert für gewähltes $a \in A$ eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ mit $\phi(v+a) = \varphi(v) + \phi(a)$. + +$\phi$ heißt affiner Homomorphismus falls $\varphi$ ein Vektorraumhomomorphismus ist. Invertierbares $\phi$ heißt Affinität. + +\subsubsection*{Affiner Standardraum $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$} + +Alle affinen Selbstabbildungen des affinen Standardraums haben die Gestalt $\phi : A \rightarrow A$ mit $\phi(a) := M \cdot a + t$ für bel. $M \in \mathbb{K}^{n\times n}$ und $t \in \mathbb{K}^n$. + +\subsubsection*{Euklidischer Raum} + +Ist $A$ affiner Raum mit $\mathbb{R}$-Vektorraum $V$ als euklidischen Translationsvektorraum, dann ist $A$ ein euklidischer Raum. + +\subsection*{Quadriken} + +Eine Quadrik $Q \subseteq \mathbb{K}^n$ ist $Q := \{ v \in \mathbb{K}^n | F(v) = 0 \}$ wobei $F \in \mathbb{K}[X_1, \cdots, X_n]$ quadratisches Polynom. + +\subsubsection*{Matrizenform} + +Das eine Quadrik $Q$ definierende quadratische Polynom lässt sich wie folgt darstellen: + +$F(x) = x^TAx + b^Tx + c$ mit $A \in \mathbb{K}^{n\times n}$, $b \in \mathbb{K}^n$ + +Für $char(\mathbb{K})\neq 2$ ist $A$ symmetrisch. + +\subsubsection*{Affine Normalform} + +Ziel der Bestimmung einer möglichst einfachen affinen Normalform $\tilde Q$ von $Q$ sowie einer Affinität $\varphi$ welche $Q$ in diese Normalform überführt. + +\begin{enumerate}[leftmargin=4mm] + \item $F(x)$ als $F(x) = x^TAx + 2b^Tx + \gamma$ schreiben + \item $A$ diagonalisieren mit $\tilde A = C^TAC$ + \item Bestimme Mittelpunkt $d$ in $A \cdot d=-b$ + \item Bestimme konstanten Term $F(d)$ + \item $\varphi(x)=Cx+f(d)$ ist gesuchte Affinität + \item $\tilde f(x) = (f \circ \varphi)(x) = x^TCx-f(d)$ durch konstanten Term teilen um $\tilde Q$ zu erhalten. +\end{enumerate} |