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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex index ab5a5e8..fac49f3 100644 --- a/analysis_3.tex +++ b/analysis_3.tex @@ -39,3 +39,19 @@ Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$, dann gilt: \item $\mathcal{E}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathcal{E} = \sigma(\mathcal{E})$ \item $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{E}' \subseteq \mathcal{P}(X) \Rightarrow \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \sigma(\mathcal{E}')$ \end{enumerate} + +\subsection*{Borelsche $\sigma$-Algebra} + +Sei $X$ ein metrischer Raum und $\mathcal{O}(X)$ das System der in $X$ offenen Mengen, dann ist $\mathcal{B}(X) := \sigma(\mathcal{O}(X))$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $X$. + +Im Speziellen wird $\mathcal{B}_m := \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$ gesetzt. + +$\mathcal{B}_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\mathbb{R}^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte. + +\subsubsection*{Charakterisierung} + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + \mathcal{B}_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\ + &= \sigma(\{(a, b] | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) +\end{align*} |