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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index c074e43..32a4902 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -43,7 +43,7 @@ Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert \subsubsection*{Kondition stetig differenzierbarer Fkt.} -Für $f \in C^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: +Für $f \in \mathcal{C}^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: \vspace*{-2mm} $$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\| \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ @@ -434,3 +434,72 @@ Diese Knotenfolge liegt dichter zu den Intervallgrenzen hin und ergibt eine bess Zu jeder Folge von Knoten $\{t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)}\}_{n \in \N}$ in $[a,b]$ gibt es ein $f \in C([a,b])$ so, dass $\{P(f|t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)})\}_{n \in \N}$ für $n \to \infty$ nicht glm. gegen $f$ konvergiert. \section*{Splines} + +Sei $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}\}$ ein Gitter paarweise verschiedener Knoten $a=t_0 < \cdots < t_{l+1} = b$. +$s \in \mathcal{C}^{k-2}(a,b)$ ist Spline der Ordnung $k \in \N$ bzgl. $\Delta$ wenn sie auf jedem Interval $[t_i,t_{i+1}]$ mit einem Polynom $s_i \in \Pi_{k-1}$ übereinstimmt. + +$S_{k,\Delta}$ ist Raum aller Splines der Ordnung $k$ bzgl. $\Delta$. + +Der Spline-Raum $S_{k,\Delta}$ ist ein reeller Vektorraum mit $\Pi_{k-1}[a,b] \subset S_{k,\Delta}$. + +Zusätzlich gilt auch $(t-t_i)_+^{k-1} \in S_{k,\Delta}$ + +\subsection*{Abgebrochene Potenzen} + +Abgebrochene Potenzen vom Grad $k-1$: + +$$(t-t_i)_+^{k-1} := \begin{cases}(t-t_i)^{k-1} &: t \geq t_i \\ 0 &: t < t_i\end{cases}$$ + +Für $t_i \in \Delta$, $i \neq l+1$ + +\subsection*{Basis des Spline-Raumes} + +$$\mathcal{B} = \{1,t,\cdots,t^{k-1},(t-t_1)_+^{k-1},\cdots,(t-t_l)_+^{k-1}\}$$ + +ist eine Basis von $S_{k,\Delta}$ mit $\dim(S_{k,\Delta}) = k + l$. + +\subsection*{Spline-Interpolation} + +Interpolation einer Funktion $f$ bzgl. eines Gitters $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}$ durch Spline der Ordnung $k$. + +\vspace{2mm} + +Im linearen Fall mit $k=2$ stimmt die Anzahl der Knoten $l+2$ mit $\dim(S_{2,\Delta})=l+2$ überein. Es gibt also genau einen Spline der $(t_i,f(t_i))$ interpoliert. + +$$I_2 f = \sum_{i=0}^{l+1} f(t_i) B_i$$ + +Für $B_i \in S_{2,\Delta}$ mit $B_i(t_k) = \delta_{i,k}$ + +\subsection*{Kubische Splines} + +Kubische Splines der Ordnung 4 eigenen sich für die Darstellung von Kurven, da das menschliche Auge diese als glatt empfindet. + +\vspace{2mm} + +Die Interpolationsbedingungen reichen zur eindeutigen Bestimmung eines interpolierenden Spline aus $S_{4,\Delta}$ nicht aus. Wegen $\dim(S_{4,\Delta}) - (l+2) = l+4-(l+2) = 2$ bleiben 2 Freiheitsgrade unbestimmt. + +Eine zusätzliche Bedingung ist, dass der interpolierende kubische Spline die minimale Krümmung aller interpolierenden $\mathcal{C}^2$-Funktionen besitzen soll. + +\subsubsection*{Krümmung einer Funktion} + +Krümmung von $y : [a,b] \rightarrow \R, y \in \mathcal{C}^2$: + +$$\kappa(t) := \frac{y''(t)}{(1+y'(t))^{3/2}}$$ + +$1/\kappa(t)$ ist der Radius des \emph{Krümmungskreises}. + +Das Krümmungsverhalten von $y$ über ganz $[a,b]$ ist durch ein Integral messbar: + +$$\|y''\|_2 := \left(\int_a^b y''(t)^2 dt\right)^{1/2}$$ + +\subsubsection*{Randbedingungen} + +Für $s \in S_{4,\Delta}$, $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}\}$ sind mögliche Randbedingungen: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $s'(a) = f'(a)$ und $s'(b)=f'(b)$, \emph{vollständige Spline-Interpolation} + \item $s''(a) = s''(b) = 0$, \emph{natürliche Interpolation} + \item $s'(a) = s'(b)$ und $s''(a) = s''(b)$ falls $f$ periodisch mit Periode $b-a$, \emph{periodische Interpolation} +\end{enumerate} + +Ist eine dieser Randbedingungen erfüllt, so ist $s$ eindeutig bestimmt. Ferner gilt für alle anderen interpolierenden $y \in \mathcal{C}^2(a,b)$: $\|s''\|_2 < \|y''\|_2$ |