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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 5e8de76..6a236e2 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -557,6 +557,24 @@ $$\int_D div f(x) dx = \int_{\partial D} (f(x)|\nu(x)) d\sigma(x)$$ Mit $\text{div} f(x) := \text{spur} f'(x) = \partial_1 f_1(x) + \cdots + \partial_m f_m(x)$ und $\nu$ ist äußere Einheitsnormale. +\subsection*{Satz von Stokes in $\R^3$} + +Für $f \in C^1(D,\R^3)$ ist die Rotation definiert: + +$$\text{rot} f(x) = \begin{pmatrix} + \partial_2 f_3(x) - \partial_3 f_2(x) \\ + \partial_3 f_1(x) - \partial_1 f_3(x) \\ + \partial_1 f_2(x) - \partial_2 f_1(x) +\end{pmatrix}$$ + +Dann gilt mit der äußeren Einheitsnormalen $n$: + +$$\int_M (\text{rot} f(x) | n(x)) d\mu(x) = \int_{\partial_2 M} f \cdot dx$$ + +Dabei ist das \emph{Kurvenintegral zweiter Art} geg. als: + +$$\int_{\partial_2 M} f \cdot dx = \int_a^b (f(\varphi(\tau))|\varphi'(\tau)) d\tau$$ + \section*{Lebesguesche Räume} Für messbare $f : X \to \overline\R$: |