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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex new file mode 100644 index 0000000..63327e7 --- /dev/null +++ b/lineare_algebra.tex @@ -0,0 +1,471 @@ +\section*{Relationen} + +Sei $R := A \times B$ eine Relation. + +\subsubsection*{Linkstotal} +$\forall a \in A \exists b \in B : (a,b) \in R$ + +\subsubsection*{Rechtstotal / Surjektiv} +$\forall b \in B \exists a \in A : (a,b) \in R \text{ bzw. } f(a)=b$ + +\subsubsection*{Linkseindeutig / Injektiv} +$\forall a_1, a_2 \in A \forall b \in B :$ \newline +\hspace*{5mm} $(a_1,b) \in R \land (a_2,b) \in R \implies a_1=a_2$ + +\subsubsection*{Rechtseindeutig} +$\forall a \in A \forall b_1, b_2 \in B:$ \newline +\hspace*{5mm} $(a,b_1) \in R \land (a,b_2) \in R \implies b_1=b_2$ + +\subsection*{Eigenschaften von Relationen} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=25mm] + \item[reflexiv] $\forall x \in M : (x, x) \in R$ + \item[symmetrisch] $\forall x, y \in M : xRy \Leftrightarrow yRx$ + \item[antisymmetrisch] $\forall x, y \in M : xRy \land yRx \Rightarrow x=y$ + \item[transitiv] $\forall x, y, z \in M : xRy \land yRz \Rightarrow xRz$ +\end{description} + +\subsection*{Äquivalenzrelationen} + +Eine Relation $R$ auf Menge $M$ ist Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. + +\section*{Gruppen} + +$\star : M \times M \rightarrow M$ ist Verknüpfung auf Menge $M$ abhängig der Argument-Reihenfolge. Das Tupel $(M, \star)$ ist Gruppe, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\star$ ist assoziativ + \item $\exists e \in M \forall x \in M : x \star e = e \star x = x$ + \item $\forall x \in M \exists y \in M : x \star y = y \star x = e$ +\end{enumerate} + +Ist $\star$ kommutativ, dann $(M, \star)$ abelsche Gruppe. + +\subsection*{Assoziativität} + +$\forall m_1, m_2, m_3 \in M : (m_1 \star m_2) \star m_3 = m_1 \star (m_2 \star m_3)$ + +\subsection*{Kommutativität} + +$\forall m_1, m_2 \in M : m_1 \star m_2 = m_2 \star m_1$ + +\subsection*{Untergruppen} + +$(M, \star)$ ist Gruppe. $(H, \circ)$ ist Untergruppe, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $H \subseteq M$ + \item $(H, \circ)$ ist Gruppe + \item $\forall h_1, h_2 \in H : h_1 \circ h_2 = h_1 \star h_2$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Untergruppenkriterium} + +$H \subseteq G$ ist Untergruppe von $G$ wenn: + +$H \neq \emptyset \land \forall h_1, h_2 \in H : h_1 \star h_2^{-1} \in H$ + +\subsection*{Gruppenhomomorphismen} + +Seien $(G, \star)$ und $(H, \circ)$ Gruppen. $f: G \rightarrow H$ ist Gruppenhomomorphismus wenn: + +$\forall g_1, g_2 \in G: f(g_1 \star g_2) = f(g_1) \circ f(g_2)$ + +\subsubsection*{Eigenschaften von Homomorphismen} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $f(e_G) = e_H$ + \item $\forall g \in G : f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ + \item $f(G)$ ist Untergruppe von $H$ + \item $f \in Hom(G, H)$ ist genau dann injektiv, wenn $Kern(f) = \{e_G\}$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Weitere Homomorphismen} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $f : G \rightarrow G$ ist Endomorphismus + \item Bijektives $f: G \rightarrow H$ ist Isomorphismus + \item Bijektives $f \in End(V)$ ist Automorphismus +\end{enumerate} + +\section*{Ringe} + +$(R, +, *)$ ist Ring, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $(R, +)$ ist abelsche Gruppe + \item $*$ ist assoziativ + \item $\forall x \in R : 1_R * x = x * 1_R = x$ + \item $x*(y+z) = (x*y)+(x*z)$ + \item $(y+z)*x = (y*x)+(z*x)$ +\end{enumerate} + +Ist $*$ kommutativ, $(R, +, *)$ ein kommutativer Ring. + +\subsection*{Teilringe} + +Unter $+$ und $*$ geschlossene Teilmenge $T \subseteq R$ ist Teilring von $R$. + +\subsection*{Ringhomomorphismen} + +$\phi : R \rightarrow S$ ist Ringhomomorphismus, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall x, y \in R : \phi(x +_R y) = \phi(x) +_S \phi(y)$ + \item $\forall x, y \in R : \phi(x *_R y) = \phi(x) *_S \phi(y)$ + \item $\phi(1_R) = 1_S$ +\end{enumerate} + +\section*{Körper} + +Ein Körper ist kommutativer Ring $K$ mit $0_K \neq 1_K$ und für den jedes $x \neq 0_K$ invertierbar ist. + +\section*{Matrizen} + +\subsection*{Invertierbare Matrizen} + +Für einen kommutativen Ring $R$ ist die "general linear Group": + +$GL_p(R) := \{ A \in R^{p \times p} | \exists B \in R^{p \times p} : AB = BA = I_p \}$ + +Die Matrizen in $GL_p(R)$ heißen invertierbare / reguläre Matrizen. + +\subsection*{Elementarmatrizen} + +$$R^{2 \times 3} \ni E_{2,3} = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 1 & 0 +\end{pmatrix}$$ + +\subsection*{Äquivalenz von Matrizen} + +$\exists S \in GL_q(K), T \in GL_p(K) : B = T A S$ ($A, B \in K^{p \times q}$) + +\subsection*{Ähnlichkeit von Matrizen} + +$A, \tilde A \in K^{d \times d}$ ähnlich $\Leftrightarrow \exists S \in GL_d(K) : \tilde A = S^{-1}AS$ + +\subsection*{Determinante} + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A \text{ ist invertierbar}$ + \item $det(A*B) = det(A) * det(B)$ + \item $det(A)^{-1} = det(A)^{-1}$ falls $A \in GL_n(K)$ + \item $det(A) = det(A^T)$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Determinante von Blockmatrizen} + +$$det(\begin{pmatrix} + A & B \\ + 0 & C +\end{pmatrix}) = det(A) * det(C)$$ + +\section*{Vektorräume} + +Ein $K$-Vektorraum ist kommutative Gruppe $(V, +)$ mit skalarer Multiplikation $* : K \times V \rightarrow V, (a, v) \mapsto a * v$ sowie: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall v \in V : 1_K * v = v$ + \item $\forall a, b \in K \forall v \in V : a*(b*v)=(a*b)*v$ + \item $\forall a, b \in K \forall u, v \in V : a*(u+v)=a*u+a*v$ + \item $\forall a, b \in K \forall u, v \in V : (a+b)*v=a*v+b*v$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Untervektorräume} + +$K$-Untervektorraum $U$ von $V$ ist Teilmenge $U \subseteq V$ die bzgl. Addition Untergruppe von $V$ ist und für die gilt: + +$\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$ (d.h. skalare Multiplikation geschlossen) + +\subsubsection*{Untervektorraumkriterium} + +Seien $K$ Körper, $V$ $K$-Vektorraum und $U \subseteq V$. Dann ist äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $U$ ist Untervektorraum von $V$ + \item $U \neq \emptyset$, $\forall u_1, u_2 \in U : u_1 + u_2 \in U$ und $\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{$\phi$-invariante Unterräume} + +$U \subset V$ ist $\phi$-invariant, wenn $\phi(U) \subset U$. + +\subsection*{Homomorphismen} + +Seien $V, W$ zwei $K$-Vektorräume. $\phi : V \rightarrow W$ ist Vektorraumhomomorphismus respektive $K$-lineare Abbildung, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall u, v \in V : \phi(u+v) = \phi(u)+\phi(v)$ + \item $\forall a \in K, v \in V : \phi(a*v) = a*\phi(v)$ +\end{enumerate} + +$Rang(\phi) := dim(Bild(\phi))$ mit $\phi \in Hom(V, W)$ + +\subsection*{Dualräume} + +Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Die Menge aller linearen Abbildungen $V \rightarrow K$ ist der Dualraum: $V^* := \{f: V \rightarrow K | f \text{ ist linear}\}$. + +$f \in V^*$ werden als Linearformen bezeichnet. + +\subsection*{Basen} + +Teilmenge $B \subseteq V$ ist Basis von $V$, wenn sich $\forall v \in V$ auf genau eine Art als Linearkombination von $B$ schreiben lässt. Jede Basis von $K^p$ hat genau $p$ Elemente. + +\subsubsection*{Lineare Unabhängigkeit} + +$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i * v_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \text{ } \forall i$ + +\subsubsection*{Dimension} + +Ist Mächtigkeit der Basis, $dim(V) := |B|$ + +$U$ Untervektorraum $V$, dann: $dim(U) \leq dim(V)$ + +\subsubsection*{Abbildungsmatrizen} + +$D_C(\phi(v)) = D_{CB}(\phi) * D_B(v)$ + +\subsubsection*{Basiswechselformel} + +Seien $V, W$ $K$-Vektorräume; $\phi \in Hom(V, W)$; $B, \tilde B$ Basen von $V$; $C, \tilde C$ Basen von W. Dann gilt: + +$D_{\tilde C \tilde B}(\phi) = D_{\tilde C C}(I_W) * D_{CB}(\phi) * D_{B\tilde B}(I_V)$ + +\subsection*{Faktor- / Quotientenräume} + +$v_1 \thicksim v_2 \Leftrightarrow v_1 - v_2 \in U$ für $v_1, v_2 \in V$ definiert Äquivalenzrelation auf $K$-Vektorraum $V$. + +$v_1$ und $v_2$ sind Elemente einer Äquivalenzklasse gdw. sie sich um ein $u \in U$ unterscheiden. + +$V/U := \{[v] | v \in V\}$ mit $[v] := v+U := \{v+u|u \in U\}$ + +$dim(V/U) = dim(V) - dim(U)$ + +\section*{Eigenwerte} + +$A*v = \lambda * v$ wobei $\lambda \in Spec(A)$ und $v \in Eig_\lambda(A)$ + +\subsection*{Eigenräume} + +$Eig_\lambda(A) := \{v \in K^n : A*v = \lambda * v\} = Kern(A-\lambda I_n)$ + +\subsection*{Charakteristisches Polynom} + +$CP_A(x) = det(x*I_n - A)$ + +\subsection*{Minimalpolynom} + +$MP_\phi(x)$ ist Teiler kleinsten Grades von $CP_\phi(x)$ welcher jeden Linearfaktor beinhaltet und für den noch $MP_\phi(\phi) = 0$ gilt. + +\subsection*{Vielfachheit} + +$\mu_g(\phi, \lambda) := dim(Eig_\lambda(\phi))$ ist die geometrische Vielfachheit von $\lambda$. + +$\mu_a(\phi, \lambda)$ ist algebraische Vielfachheit von $\lambda$, also die Vielfachheit des Monoms $(x-\lambda)$ von $CP_\phi$. + +\subsection*{Diagonalisierbarkeit} + +$\phi \in End(V)$ ist diagonalisierbar, wenn eines aus: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\exists$ Basis $B$ aus Eigenvektoren + \item $MP_\phi(X)$ zerfällt vollst. in Linearfaktoren +\end{enumerate} + +\section*{Haupträume} + +$H(\phi, \lambda) = Kern((\phi - \lambda * I_n)^e)$ mit $e := \mu_a(\phi, \lambda)$. + +Weiterhin gilt $dim(H(\phi, \lambda))=e$. + +\section*{Bilinearformen} + +\subsection*{Paarung, Bilinearform} + +$P : V \times W \rightarrow K$ ist Paarung von $V$ und $W$, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $P(av_1 + v_2, w_1) = aP(v_1, w_1) + P(v_2, w_1)$ + \item $P(v_1, bw_1 + w_2) = bP(v_1, w_1) + P(v_1, w_2)$ +\end{enumerate} + +für $\forall a, b \in K$; $v_1, v_2 \in V$; $w_1, w_2 \in W$. Diese Eigenschaft wird als Bilinearität von $P$ bezeichnet. + +Falls $V=W$ heißt $P$ Bilinearform auf $V$. + +\subsubsection*{Ausartung} + +Wenn $\forall v \in V, v \neq 0 \exists w \in W : P(v, w) \neq 0$ und $\forall w \in W, w \neq 0 \exists v \in V : P(v, w) \neq 0$, dann Paarung $P$ nicht ausgeartet. + +\subsection*{Orthogonalbasis} + +Basis $B := \{b_1, ..., b_n\}$ ist Orthogonalbasis von $V$ bzgl. $P$, wenn: $\forall 1 \leq i \neq j \leq n : P(b_i, b_j) = 0$ + +\subsection*{Orthonormalbasis} + +Orthogonalbasis $B$ ist Orthonormalbasis von $V$ bzgl. $P$, wenn: $\forall 1 \leq i \leq n : P(b_i, b_i) = 1$ + +\section*{Skalarprodukte} + +\subsection*{Standardskalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$} + +$\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \langle v, w \rangle := v^T * w$ + +\subsection*{Positive Definitheit} + +Eine symmetrische Bilinearform $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ ist positiv definit, wenn: + +$\forall v \in V: v \neq 0 \Rightarrow \langle v, v \rangle > 0$ + +\subsection*{Skalarprodukt auf $V$} + +Ein Skalarprodukt auf $V$ ist symmetrische, positiv definite Bilinearform. Ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt ist euklidischer Vektorraum. + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=10mm] + \item[Norm] $||v|| := \sqrt{\langle v, v \rangle}$ + \item[Metrik] $d(v, w) := ||v - w||$ +\end{description} + +\subsection*{Komplexes Skalarprodukt} + +$\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ ist komplexes SKP, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \\ \hspace*{4mm} \langle av_1 + v_2, w \rangle = a \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w \rangle$ + \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \\ \hspace*{4mm} \langle w, av_1 + v_2 \rangle = \overline a \langle w, v_1 \rangle + \langle w, v_2 \rangle$ + \item $\forall v, w \in V : \langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$ + \item $\forall v \in V \setminus \{0\} : \langle v, v \rangle > 0$ +\end{enumerate} + +Wobei (a) und (b) Sesquilinearität, (c) Hermitizität und (d) Positivität. Ein komplexer Vektorraum mit komplexem SKP ist unitärer Vektorraum. + +\subsubsection*{Standardskalarprodukt auf $\mathbb{C}^n$} + +$\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \ni (v, w) \mapsto \langle v, w \rangle := v^T * \overline w = \sum_{i=1}^n v_i * \overline{w_i}$ + +\subsection*{Ungleichung von Cauchy-Schwarz} + +$\langle v, w \rangle ^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\mathbb{R}$) + +$|\langle v, w \rangle |^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\mathbb{C}$) + +\subsection*{Satz des Pythagoras} + +$||v+w||^2 = \langle v, v \rangle + 2\langle v, w \rangle + \langle w, w \rangle$ + +\subsection*{Orthogonalität} + +$v \perp w \Leftrightarrow ||v||^2 + ||w||^2 = ||v+w||^2$ + +\subsubsection*{Orthogonalisierungsverfahren} + +Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $\{v_1, ..., v_k\} \subset V$ linear unabhängige Teilmenge mit $k$ Elementen. + +\vspace*{-4mm} +$$w_1 := v_1, w_l := v_l - \sum_{i=1}^{l-1} \frac{\langle v_l, w_i \rangle}{\langle w_i, w_i\rangle}*w_i \text{ (für } l = 2, ..., k)$$ + +Dann ist $S := \{w_1, ..., w_k\}$ Orthogonalsystem in $V$. + +$\tilde S := \{\frac{1}{||w_1||}*w_1, ..., \frac{1}{||w_k||}*w_k$ ist Orthonormalsystem. + +Im unitären Standardraum $\mathbb{C}^n$ ist Basis $B = \{b_1, ..., b_n\}$ ONB gdw. für Matrix $A$ mit Basisvektoren als Spalten $A^T*\overline A = I_n$ gilt. + +\subsubsection*{Orthogonalräume} + +Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $M \subseteq V$. + +\begin{equation*} + \begin{aligned} + M^{\perp} :&= \{v \in V | \forall m \in M : m \perp v \} \\ + &= \{v \in V | \forall m \in M : \langle v, m \rangle = 0\} + \end{aligned} +\end{equation*} + +$M^{\perp}$ ist Untervektorraum von $V$. Auch gilt: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $N \subseteq M \Rightarrow M^{\perp} \subseteq N^{\perp}$ + \item $M^{\perp} = \langle M \rangle ^{\perp}$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Orthogonales Komplement} + +Sei $U$ Untervektorraum von euklidischem Raum $V$, dann $U^\perp$ orthogonales Komplement zu $U$. + +Entsprechend gilt: $V = U \oplus U^\perp$ + +\subsubsection*{Orthogonale Projektionen} + +\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=15mm] + \item[Definition] $\pi_U : V \rightarrow U, u + u^\perp \mapsto u$ + \item[Abstand] $d(v, U) = ||u^\perp|| = ||\pi_{U^\perp}(v)||$ +\end{description} + +\subsection*{Affine Teilräume} + +$A := v + W$ ist affiner Teilraum von $V$ mit $W \leq V$ Vektorräume und $v \in V$. + +\subsubsection*{Affine Geraden} + +Seien $a, b \in V$, dann ist die affine Gerade durch $a$ und $b$: $\overline{a, b} := \{\lambda a + (1 - \lambda)b | \lambda \in K\} = a + K*(b-a)$ + +Für $K = \mathbb{R}$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\mathbb{R}$-Vektorraum: + +$[a, b] := \{\lambda a + (1 - \lambda)b|0 \leq \lambda \leq 1\}$ (Strecke $\overrightarrow{ab}$) + +\section*{Isometrien} + +Für metrische Räume $(X, d)$ und $(Y, e)$ ist $\phi : X \rightarrow Y$ eine Isometrie oder abstandserhaltende Abbildung, wenn: + +$\forall x_1, x_2 \in X : d(x_1, x_2) = e(\phi(x_1), \phi(x_2))$ + +$Iso(X, d)$ ist die Menge aller invertierbaren Isometrien von $X$ nach $X$. + +\subsection*{Lineare Isometrien} + +Es seien $V, W$ euklidische oder unitäre Vektorräume. Dann ist Isometrie $\phi : V \rightarrow W$, die gleichzeitig lineare Abbildung ist, eine lineare Isometrie. + +\subsection*{Eigenwerte von Isometrien} + +Seien $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $V$ ein $K$-Vektorraum mit Skalarprodukt, dann: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\phi$ ist lineare Isometrie von $V$, dann $\forall \lambda \in Spec(\phi): |\lambda|=1$ + \item $\alpha \in \mathbb{K}$ mit $|\alpha|=1 \land V \neq \{0\}$, dann gibt es Isometrie von $V$ mit Eigenwert $\alpha$ +\end{enumerate} + +\section*{Selbstadjungierte Abbildungen} + +Sei $V$ Vektorraum mit SKP über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und $\phi \in End(V)$. Dann ist $\phi$ selbstadjungiert, wenn für $\forall v, w \in V$ gilt: $\langle \phi(v), w \rangle = \langle v, \phi(w) \rangle$. + +$\phi \text{ ist selbstadjungiert} \Leftrightarrow D_{BB}(\phi)=\overline{D_{BB}(\phi)^T}$ + +Orthogonale Projektion $\pi$ ist selbstadjungiert. + +\subsection*{Hermitesche Matrizen} + +$A^* := \overline{A^T}$, $A = A^* \Leftrightarrow A \text{ ist hermitesch}$ + +\subsection*{Spektralsatz} + +Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ mit SKP und $\phi \in End(V)$. Dann ist äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\phi$ ist selbstadjungiert + \item Es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\phi$ und $Spec(\phi) \subset \mathbb{R}$ +\end{enumerate} + +\subsubsection*{Positivität} + +Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist positiv definit gdw. $\forall \lambda \in Spec(A) : \lambda \geq 0$ + +\section*{Affine Räume} + +Sei $V$ ein $K$-Vektorraum, $A \neq \emptyset$ und $\tau : V \times A \rightarrow A$. Dann ist $(A, V, \tau)$ ein affiner Raum mit Translationsvektorraum $V$ und Addition $\tau$, wenn: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\forall P \in A : \tau(0, P) = P$ + \item $\forall P \in A \forall v_1, v_2 \in V : \\ \hspace*{5mm} \tau(v_1, \tau(v_2, P)) = \tau((v_1 + v_2), P)$ + \item $\forall P, Q \in A \exists ! v \in V : \tau(v, P) = Q$ +\end{enumerate} |