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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 8bcbd48..50805b6 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -360,8 +360,8 @@ Ein Skalarprodukt auf $V$ ist symmetrische, positiv definite Bilinearform. Ein r $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ ist komplexes SKP, wenn: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \\ \hspace*{4mm} \langle av_1 + v_2, w \rangle = a \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w \rangle$ - \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \\ \hspace*{4mm} \langle w, av_1 + v_2 \rangle = \overline a \langle w, v_1 \rangle + \langle w, v_2 \rangle$ + \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \text{(linear)} \\ \hspace*{4mm} \langle av_1 + v_2, w \rangle = a \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w \rangle$ + \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \text{(semilinear)} \\ \hspace*{4mm} \langle w, av_1 + v_2 \rangle = \overline a \langle w, v_1 \rangle + \langle w, v_2 \rangle$ \item $\forall v, w \in V : \langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$ \item $\forall v \in V \setminus \{0\} : \langle v, v \rangle > 0$ \end{enumerate} @@ -382,11 +382,11 @@ $|\langle v, w \rangle |^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $||v+w||^2 = \langle v, v \rangle + 2\langle v, w \rangle + \langle w, w \rangle$ -\subsection*{Orthogonalität} +\subsubsection*{Orthogonalität} $v \perp w \Leftrightarrow ||v||^2 + ||w||^2 = ||v+w||^2$ -\subsubsection*{Orthogonalisierungsverfahren} +\subsection*{Orthogonalisierungsverfahren} Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $\{v_1, ..., v_k\} \subset V$ linear unabhängige Teilmenge mit $k$ Elementen. @@ -399,6 +399,16 @@ $\tilde S := \{\frac{1}{||w_1||}*w_1, ..., \frac{1}{||w_k||}*w_k$ ist Orthonorma Im unitären Standardraum $\mathbb{C}^n$ ist Basis $B = \{b_1, ..., b_n\}$ ONB gdw. für Matrix $A$ mit Basisvektoren als Spalten $A^T*\overline A = I_n$ gilt. +\subsubsection*{Fourierformel} + +Sei $B$ ONB von $V$ und $\langle \cdot, \cdot \rangle$ Paarung, dann: + +$v \in V \Rightarrow v = \sum_{b\in B} \langle v, b \rangle \cdot b$ + +Insbesondere ist $v$ bzgl. ONB $B$ dann: + +$D_B(v) = (\langle v, b_i\rangle)_{1\leq i \leq n}$ + \subsubsection*{Orthogonalräume} Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $M \subseteq V$. |