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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex new file mode 100644 index 0000000..ca0be13 --- /dev/null +++ b/analysis_3.tex @@ -0,0 +1,30 @@ +\section*{$\sigma$-Algebren} + +Ein Mengensystem $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ist $\sigma$-Algebra auf der nichtleeren Menge $X$ gdw.: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $X \in \mathcal{A}$ + \item $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c := X\setminus A \in \mathcal{A}$ + \item $\forall j \in \mathbb{N} : A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{A}$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Eigenschaften von $\sigma$-Algebren} + +Seien $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \mathbb{N}$, $\forall j \in \mathbb{N} : A_j \in \mathcal{A}$, dann ist $\mathcal{A}$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\emptyset = X^c \in \mathcal{A}$ + \item $A_1 \bigcup \cdots \bigcup A_n \in \mathcal{A}$ + \item $A_1 \bigcap \cdots \bigcap A_n \in \mathcal{A}$ + \item $\bigcap_{j\in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{A}$ + \item $A_1 \setminus A_2 := A_1 \bigcap A_2^c \in \mathcal{A}$ +\end{enumerate} + +\subsection*{Erzeugte $\sigma$-Algebren} + +Die durch das nichtleere Mengensystem $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ auf $X$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist wie folgt definiert: + +\vspace*{-4mm} +$$\sigma(\mathcal{E}) := \bigcap\{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X) | \mathcal{A} \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \}$$ + +Der Erzeuger $\mathcal{E}$ ist hierbei allg. nicht eindeutig. |