diff options
| -rw-r--r-- | content/eaz.tex | 52 |
1 files changed, 48 insertions, 4 deletions
diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index 4f41dff..052db0f 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -303,10 +303,54 @@ Sei $G$ endliche Gruppe, $p \in Primes$, $\#G = p^e \cdot f$: \section*{Ringe} -\section*{Nullteiler} +Ein \emph{Ring} ist Menge $R$ mit Verknüpfungen $+$ und $*$ s.d. $(R,+)$ abelsche Gruppe mit Neutralelement $0$ ist, $*$ assoziativ ist, neutrales Element $1$ besitzt und die Distributivgesetze gelten: -\section*{Ideale} +$\forall a, b, c, d \in R : (a+b)*c = ac+bc \land a*(c+d) = ac + ad$ -\section*{Magmen} +Ist $*$ kommutativ, heißt $R$ kommutativer Ring. + +\subsection*{Ringhomomorphismen} + +$\Phi : R \to S$ ist \emph{Ringhomomorphismus} zwischen Ringen $R$ und $S$, wenn es bzgl. $+$ und $*$ ein Magmenhomomorphismus ist und $\Phi(1_R) = 1_S$ gilt. + +\subsection*{Einheitengruppe} + +$R^\times := \{ r \in R : \exists r^{-1} \in R : r r^{-1} = r^{-1} r = 1_R \}$ + +$(R^\times, *)$ ist Einheitengruppe. + +\subsection*{Teilringe} + +Ein \emph{Teilring} von Ring $R$ ist $T \subseteq R$ s.d. $T$ bzgl. $+$ Untergruppe und bzgl. $*$ Untermonoid von $R$ ist. + +\subsection*{Nullteiler} + +$a \in R$ ist \emph{Nullteiler} in Ring $R$, wenn: + +$\exists b \in R, b \neq 0 : ab = 0 \lor ba = 0$ + +Ist $0$ einziger Nullteiler in $R$, so ist $R$ \emph{nullteilerfrei}. + +$R$ heißt \emph{Integritätsbereich}, wenn $R$ kommutativ und nullteilerfrei ist. + +Teilringe von Integritätsbereichen sind integer. + +\subsection*{Charakteristik} + +Sei $R$ Ring. Dann $\exists! \Phi \in Hom_{Ring}(\Z,R)$. + +Sei $n \in \N_0$ nichtnegativer Erzeuger des Kerns von $\Phi$. Dann heißt $n$ die Charakteristik $char(R)$ von $R$. + +Die Charakteristik eines nullteilerfreien Rings $R$ ist entweder $0$ oder Primzahl $p \in \Primes$. + +\subsection*{Ideale} + +Ein \emph{Ideal} in Ring $R$ ist $I \subseteq R$ s.d. $(I,+) \leq R$ und $\forall x \in I, r \in R : xr \in I \land rx \in I$. + +Kerne von Ringhomomorphismen sind ideal und Ideale sind Kerne von Ringhomomorphismen. + +\subsection*{Körper} + +Ring $R$ heißt Körper, wenn $R$ kommutativ ist und $0 \neq 1$ sowie $R^\times = R \setminus \{0\}$ gelten. Ein Körper ist insb. ein Integritätsbereich. -\section*{Chinesischer Restsatz} +\subsection*{Chinesischer Restsatz} |