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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex index d524b8d..483a52f 100644 --- a/analysis_3.tex +++ b/analysis_3.tex @@ -23,18 +23,18 @@ Ein Mengensystem $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ist $\sigma$-Algebra auf \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $X \in \mathcal{A}$ \item $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c := X\setminus A \in \mathcal{A}$ - \item $\forall j \in \mathbb{N} : A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{A}$ + \item $\forall j \in \N : A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A}$ \end{enumerate} \subsection*{Eigenschaften von $\sigma$-Algebren} -Seien $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \mathbb{N}$, $\forall j \in \mathbb{N} : A_j \in \mathcal{A}$, dann ist $\mathcal{A}$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: +Seien $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \mathcal{A}$, dann ist $\mathcal{A}$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\emptyset = X^c \in \mathcal{A}$ \item $A_1 \bigcup \cdots \bigcup A_n \in \mathcal{A}$ \item $A_1 \bigcap \cdots \bigcap A_n \in \mathcal{A}$ - \item $\bigcap_{j\in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{A}$ + \item $\bigcap_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A}$ \item $A_1 \setminus A_2 := A_1 \bigcap A_2^c \in \mathcal{A}$ \end{enumerate} @@ -62,9 +62,9 @@ Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$, dann gilt: Sei $X$ ein metrischer Raum und $\mathcal{O}(X)$ das System der in $X$ offenen Mengen, dann ist $\mathcal{B}(X) := \sigma(\mathcal{O}(X))$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $X$. -Im Speziellen wird $\mathcal{B}_m := \mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$ gesetzt. +Im Speziellen wird $\mathcal{B}_m := \mathcal{B}(\R^m)$ gesetzt. -$\mathcal{B}_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\mathbb{R}^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte. +$\mathcal{B}_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\R^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte. \subsubsection*{Charakterisierung} @@ -82,7 +82,7 @@ $\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\mathcal{A}$ \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\mu(\emptyset) = 0$ - \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathcal{A} :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j) = \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ + \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \N\} \subseteq \mathcal{A} :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ \end{enumerate} \subsection*{Maßraum} @@ -104,21 +104,21 @@ Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\mathcal{A}$ genannt. \subsection*{Zählmaß} -Sei $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathbb{N})$ und $\forall j \in \mathbb{N} : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt. +Sei $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\N)$ und $\forall j \in \N : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt. -$\mu(A) := \sum_{j\in A} p_j$ für $A \subseteq \mathbb{N}$ ist Maß auf $\mathcal{P}(\mathbb{N})$. +$\mu(A) := \sum_{j\in A} p_j$ für $A \subseteq \N$ ist Maß auf $\mathcal{P}(\N)$. -Gilt zusätzlich $\forall j \in \mathbb{N} : p_j = 1$ so heißt $\mu$ Zählmaß. +Gilt zusätzlich $\forall j \in \N : p_j = 1$ so heißt $\mu$ Zählmaß. \subsection*{Eigenschaften von Maßen} -Sei $(X, \mathcal{A}, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \mathcal{A}$ für $j \in \mathbb{N}$. +Sei $(X, \mathcal{A}, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \mathcal{A}$ für $j \in \N$. \begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=26mm] \item[Monotonie] $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ - \item[$\sigma$-Subadditivität] $\mu(\dot\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j) \leq \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ - \item[Stetigkeit (unten)] $A_j \uparrow \Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j)$ - \item[Stetigkeit (oben)] $A_j \downarrow \land \hspace*{1mm} \mu(A_1) < \infty \\ \hspace*{4mm}\Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcap_{j\in \mathbb{N}} A_j)$ + \item[$\sigma$-Subadditivität] $\mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) \leq \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ + \item[Stetigkeit (unten)] $A_j \uparrow \Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcup_{j\in \N} A_j)$ + \item[Stetigkeit (oben)] $A_j \downarrow \land \hspace*{1mm} \mu(A_1) < \infty \\ \hspace*{4mm}\Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcap_{j\in \N} A_j)$ \end{description} Für $\mu(A) < \infty$ folgt $\mu(B\setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$. @@ -131,20 +131,20 @@ Eine Abb. $f : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\ \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\mu(\emptyset) = 0$ - \item $\{A_j | j \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathcal{A}$ disjunkt und $A = \bigcup_{j\in \mathbb{N}} A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \mu(A) = \sum_{j\in \mathbb{N}} \mu(A_j)$ + \item $\{A_j | j \in \N\} \subseteq \mathcal{A}$ disjunkt und $A = \bigcup_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \mu(A) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ \end{enumerate} \section*{Lebesguemaß} \subsection*{System der Intervalle} -Sei $I = (a, b] \subseteq \mathbb{R}^m$ für $a, b \in \mathbb{R}^m$ mit $a \leq b$, dann wird das System von Intervallen $\mathcal{J}_m$ definiert: +Sei $I = (a, b] \subseteq \R^m$ für $a, b \in \R^m$ mit $a \leq b$, dann wird das System von Intervallen $\mathcal{J}_m$ definiert: $\lambda(I) = \lambda_m(I) := (b_1 - a_1) \cdot \hdots \cdot (b_m - a_m)$ \subsection*{Ring der Figuren} -$$\mathcal{F}_m = \left\{ A = \bigcup_{j=1}^n I_j | I_j \in \mathcal{J}_m, n \in \mathbb{N} \right\}$$ +$$\mathcal{F}_m = \left\{ A = \bigcup_{j=1}^n I_j | I_j \in \mathcal{J}_m, n \in \N \right\}$$ \subsubsection*{Eigenschaften} @@ -178,9 +178,9 @@ Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ $\sigma$-Algebren auf $X, Y, Z \ne \item $f : X \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-mb., $g : Y \rightarrow Z$ ist $\mathcal{B}$-$\mathcal{C}$-mb. $\Rightarrow g \circ f : X \rightarrow Z$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{C}$-mb. \item $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(Y)$, $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$, $f: X \rightarrow Y$ dann ist $f$ messbar gdw. $\forall E \in \mathcal{E} : f^{-1}(E) \in \mathcal{A}$ \item $X, Y$ metrische Räume, $f : X \rightarrow Y$ stetig $\Rightarrow f$ ist Borel-messbar - \item $f : X \rightarrow \mathbb{R}^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. gdw. $\forall i \in \{1, \dots, m\} : f_i : X \rightarrow \mathbb{R}$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. - \item $f, g$ sind $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. und $\alpha, \beta \in \mathbb{R} \Rightarrow fg : X \rightarrow \mathbb{R}$ und $\frac{1}{f} : \{x \in X | f(x) \neq 0\} \rightarrow \mathbb{R}$ mb. - \item $f : X \rightarrow \mathbb{R}^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \mathbb{R}; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. + \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. gdw. $\forall i \in \{1, \dots, m\} : f_i : X \rightarrow \R$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. + \item $f, g$ sind $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. und $\alpha, \beta \in \R \Rightarrow fg : X \rightarrow \R$ und $\frac{1}{f} : \{x \in X | f(x) \neq 0\} \rightarrow \R$ mb. + \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \R; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. \item $X = W \dot\cup Z$ mit $\emptyset \neq W, Z \in \mathcal{A}$, $f : W \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_W$-$\mathcal{B}$-mb., $g : Z \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_Z$-$\mathcal{B}$-mb. $\Rightarrow h(x) = \begin{cases} f(x) & x \in W \\ g(x) & x \in Z |