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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 6a236e2..f38f4f0 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -234,7 +234,7 @@ $$\forall x \in X : \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline \R \Rightarrow \lim $f : [a,b] \to \R$ diffbar. $\Rightarrow f'$ ist $\B([a,b])$-$\B_1$-mb. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f : X \to \overline \R$, $X_j \in \A$ mit $X_j \uparrow$, $\cup_{j \in \N} X_j = X$ s.d. $\forall j \in \N : \restrictedto{f}{X_j} : X_j \to \overline \R$ ist $\A_{X_j}$-$\overline\B_1$-mb. @@ -341,7 +341,7 @@ Für $\A-\overline\B_1$-mb. Fkt. $f : X \to \overline\R$ sind äquivalent: $\L^1(\mu)$ ist Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung von $\L^1(\mu)$ nach $\R$. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f$ einfach mit $f := \sum_{j=1}^n y_j \mathbbm{1}_{B_j}$ mit $y_j \in \R$, $B_j \in \A$ und $\mu(B_j) < \infty$. Dann: $\int_X f d\mu = \sum_{j=1}^n y_j \mu(B_j)$ @@ -369,7 +369,7 @@ Die rationalen Zahlen $\Q$ sind eine $\lambda_1$-Nullmenge, Hyperebenen in $\R^m Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \subseteq$ Nullmenge $N : M \in \A$. -\vspace{2mm} +\spacing $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$-Nullmenge $N\}$ ergibt Vervollständigung $(X,\tilde\A,\tilde\mu)$ eines beliebigen Maßraum $(X,\A,\mu)$. @@ -377,7 +377,7 @@ $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$- Eine Eigenschaft $E$ besteht für fast alle $x \in X$ oder fast überall. wenn es Nullmengen $N$ gibt s.d. $E$ für alle $x \in X \setminus N$ gilt. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f : X \to \overline\R$ ib. Dann ist $\{|f|=\infty\}$ eine Nullmenge, $f$ ist also fast überall endlich. @@ -514,7 +514,7 @@ $$g_F(t) = \det(F'(t)^TF'(t))$$ die \emph{Gramsche Determinante} von $F$. -\vspace{2mm} +\spacing Für $m = 3$ gilt insbesondere: |