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diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index 74793c4..a80170f 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -365,3 +365,24 @@ Seien $R$ kommutativer Ring, $I, J$ Ideale in $R$ s.d. $I + J = R$. Dann existie $\Phi : R/(I \cap J) \to R/I \times R/J$ +\section*{Moduln} + +Sei $R$ Ring. Ein $R$-Modul ist eine abelsche Gruppe $M$ mit Abbildung $\cdot : R \times M \to M$ s.d.: + +\vspace*{-4mm} +\begin{alignat*}{3} + &\forall r, s \in R, m \in M &&: (r+s)\cdot m &&= r\cdot m + s\cdot m \\ + &\forall r \in R, m, n \in M &&: r \cdot (m+n) &&= r\cdot m + r\cdot n \\ + &\forall r, s \in R, m \in M &&: (rs)\cdot m &&= r\cdot(s\cdot m) \\ + &\forall m \in M &&: 1\cdot m &&= m +\end{alignat*} + +Diese Bedingungen sind von VRäumen bekannt. + +\subsection*{Untermoduln} + +Sei $M$ ein $R$-Modul und $U \subseteq M$. + +Dann ist $U$ \emph{Untermodul} von $M$, wenn $U$ additive Untergruppe ist und unter der skalaren Multiplikation $\cdot$ mit Elementen aus $R$ invariant ist: + +$U \leq M \land \forall r \in R, u \in U : r \cdot u \in U$ |