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diff --git a/content/lineare_algebra.tex b/content/lineare_algebra.tex index 2269ca9..74d30cc 100644 --- a/content/lineare_algebra.tex +++ b/content/lineare_algebra.tex @@ -136,10 +136,10 @@ $A \in GL_p(R)$ sind invert. / reguläre Matrizen. \subsection*{Elementarmatrizen} -$$R^{2 \times 3} \ni E_{2,3} = \begin{pmatrix} +\[ R^{2 \times 3} \ni E_{2,3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 -\end{pmatrix}$$ +\end{pmatrix} \] \subsection*{Äquivalenz von Matrizen} @@ -397,11 +397,11 @@ $\mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \ni (v, w) \mapsto \langle v, w \rangle := v^T Seien $B$ und $C$ Basen von $V$ und $\langle \cdot, \cdot \rangle$ SKP. \vspace*{-3mm} -$$D_{BC}(\langle \cdot, \cdot \rangle) = \begin{pmatrix} +\[ D_{BC}(\langle \cdot, \cdot \rangle) = \begin{pmatrix} \langle b_1, c_1 \rangle & \hdots & \langle b_1, c_n \rangle \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle b_n, c_1 \rangle & \hdots & \langle b_n, c_n \rangle -\end{pmatrix}$$ +\end{pmatrix} \] \subsubsection*{Hurwitz-Kriterium} @@ -426,7 +426,7 @@ $v \perp w \Leftrightarrow ||v||^2 + ||w||^2 = ||v+w||^2$ Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $\{v_1, ..., v_k\} \subset V$ linear unabhängige Teilmenge mit $k$ Elementen. \vspace*{-4mm} -$$w_1 := v_1, w_l := v_l - \sum_{i=1}^{l-1} \frac{\langle v_l, w_i \rangle}{\langle w_i, w_i\rangle}*w_i \text{ (für } l = 2, ..., k)$$ +\[ w_1 := v_1, w_l := v_l - \sum_{i=1}^{l-1} \frac{\langle v_l, w_i \rangle}{\langle w_i, w_i\rangle}*w_i \text{ (für } l = 2, ..., k) \] Dann ist $S := \{w_1, ..., w_k\}$ Orthogonalsystem in $V$. @@ -502,7 +502,7 @@ Unitäre Matrizen sind normal. Zerlegung von $A \in GL_n(\K)$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. \vspace*{-5mm} -$$A = \begin{pmatrix} +\[ A = \begin{pmatrix} \vdots & \vdots & \vdots \\ q_1 & \hspace{-3mm}\hdots\hspace{-3mm} & q_n \\ \vdots & \vdots & \vdots @@ -512,7 +512,7 @@ q_1 & \hspace{-3mm}\hdots\hspace{-3mm} & q_n \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \langle q_{n-1}, a_n \rangle \\ 0 & \hdots & 0 & ||\tilde q_n|| -\end{pmatrix}$$ +\end{pmatrix} \] \vspace*{-2mm} \begin{enumerate}[leftmargin=4mm] @@ -560,13 +560,13 @@ Sei $A \in U(n)$, dann gibt es $S \in U(n)$, sodass $S^{-1} A S$ Diagonalmatrix. Sei $A \in O(n)$, $d_+ := dim(Eig(A,1))$, $d_- := dim(Eig(A, -1))$ und $l = \frac{1}{2}(n - d_+ - d_-)$, dann existiert $S \in O(n)$, sodass $S^{-1} A S$ die folgende Blockgestalt hat: \vspace{-4mm} -$$\begin{pmatrix} +\[ \begin{pmatrix} I_{d_+} & 0 & \hdots & \hdots & 0 \\ 0 & -I_{d_i} & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & D_{\psi_1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \hdots & \hdots & 0 & D_{\psi_l} -\end{pmatrix}$$ +\end{pmatrix} \] Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & cos(\psi_i) \end{pmatrix}$ Drehkästchen. |