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diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex index 3c53bdf..3ffcf7b 100644 --- a/content/markov.tex +++ b/content/markov.tex @@ -137,3 +137,17 @@ Sei $i \in T, k \in T^c$ und $u_{ik} = \P_i(X_\tau = k)$. \vspace*{2mm} Für $i \in T, j \in T^c$ gilt: $u_{ij} = \displaystyle\sum_{k \in T} p_{ik} u_{kj} + p_{ij}$ + +\section*{Stationäre Verteilungen} + +Sei $(X_n)$ MK mit Übergangsmatrix $P$. Ein Maß $\nu : S \to \R_{\geq 0}$ ist \emph{invariant} für $P$, falls $\nu \cdot P = \nu$ d.h: + +$\displaystyle\sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij} = \nu(j)$ für $j \in S$ + +Ist $\nu$ eine Verteilung (d.h. $\sum_{i \in S} \nu(i) = 1$) und invariant für $P$, so ist $\nu$ eine \emph{stationäre Verteilung}. + +\vspace*{1mm} + +Eine mit stationärer Verteilung $\nu$ gestartete MK hat zu jedem Zeitpunkt Verteilung $\nu$: + +$\P_\nu(X_n = j) = \sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij}^{(n)} = \nu(j)$ |