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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 53aab00..5e4f9ad 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -282,9 +282,8 @@ $\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$ Ziel: $k$-te Komponente von $x$ nullen für $x_l^2+x_k^2 \neq 0$. -\vspace{-4mm} \begin{align*} - |x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\ + |x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\ |x_l| \leq |x_k| : &\tau := \frac{x_l}{x_k}, s := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, c := s\tau \end{align*} @@ -294,6 +293,8 @@ Für Hessenberg-Matrix $A$ ergibt sich $A=QR$ mit: $Q^T := G(n-1,n) \cdots G(1,2)$ und $R:=Q^T A$. +\vspace{2mm} + QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen. \section*{Lineare Ausgleichsprobleme} @@ -330,7 +331,7 @@ Ein Verfahren konvergiert falls $\forall u^0 \in \R^n$, $b \in \R^n : \lim_{k\to Direkte Löser liefern bei exakter Arithmetik nach endlich vielen Schritten $A^{-1}b$. Bei iterativen Lösern gilt im allg. $\forall k \in \N : u^k \neq A^{-1}b$. -Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder das relative Residuum von $u^m$: $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$ +Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$ (rel. Residuum) \subsection*{Lineare Iterationsverfahren} |