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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 008d315..a75f92a 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -43,12 +43,12 @@ Ein Algorithmus für $f$ ist Abbildung $\tilde f : E \subset X \to Y$ s.d. $\til Die Konditionszahl eines mathematischen Problems $(f, x)$ ist die kleinste Zahl $\kappa_f(x) \geq 0$ mit: \vspace*{-4mm} -$$\frac{\|f(x + \Delta x) - f(x) \|_Y}{\|f(x)\|_Y} \leq \kappa_f(x) \frac{\|\Delta x\|_X}{\|x\|_X} + o(\|\Delta x \|_X)$$ +\[ \frac{\|f(x + \Delta x) - f(x) \|_Y}{\|f(x)\|_Y} \leq \kappa_f(x) \frac{\|\Delta x\|_X}{\|x\|_X} + o(\|\Delta x \|_X) \] Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. \vspace*{-4mm} -$$\kappa_f(x) = \limsup_{\delta \to 0} \left\{ \frac{\|f(x+\Delta x) - f(x)\|_Y \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y \|\Delta x\|_X} \right\}$$ +\[ \kappa_f(x) = \limsup_{\delta \to 0} \left\{ \frac{\|f(x+\Delta x) - f(x)\|_Y \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y \|\Delta x\|_X} \right\} \] Für $\Delta x \in X$, $x + \Delta x \in E$, $\|\Delta x\|_X \leq \delta$. @@ -62,7 +62,7 @@ Existiert $\limsup$ nicht wird $\kappa_f(x)=\infty$ gesetzt und das Problem als Für $f \in \mathcal{C}^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: \vspace*{-2mm} -$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\|_\infty \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ +\[ \kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\|_\infty \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y} \] \subsection*{Stabilität numerischer Algorithmen} @@ -73,7 +73,7 @@ Elementaroperationen eines Computers sind mit dem relativen Fehler $\epsilon$ be \emph{Stabilitätsindikator der Vorwärtsanalyse} eines Algorithmus' $\tilde f$ zur Lösung von $(f,x)$ ist minimales $\sigma = \sigma(x) \geq 0$ für $\{x^\epsilon\}_{\epsilon > 0}$ mit $\|x-x^\epsilon\|_X \leq \epsilon \|x\|_X$: \vspace{-4mm} -$$\frac{\|\tilde f(x^\epsilon) - f(x^\epsilon)\|_Y}{\|f(x^\epsilon)\|_Y} \leq \sigma \kappa_f(x^\epsilon)\epsilon + o(\epsilon) \text{ für } \epsilon \to 0$$ +\[ \frac{\|\tilde f(x^\epsilon) - f(x^\epsilon)\|_Y}{\|f(x^\epsilon)\|_Y} \leq \sigma \kappa_f(x^\epsilon)\epsilon + o(\epsilon) \text{ für } \epsilon \to 0 \] Algorithmus $\tilde f$ ist stabil im Sinne der Vorwärtsanalyse, wenn $\sigma \leq$ \#Elementaroperationen. @@ -82,7 +82,7 @@ Algorithmus $\tilde f$ ist stabil im Sinne der Vorwärtsanalyse, wenn $\sigma \l \emph{Stabilitätsindikator der Rückwärtsanalyse} ist minimales $\varrho = \varrho(x) \geq 0$ für $\{x^\epsilon\}_{\epsilon > 0}$ s.d. für bel. $\|x^\epsilon - x\|_X \leq \epsilon \|x\|_X$ Schar $\{\hat x^\epsilon\}_{\epsilon > 0}$ ex. mit $f(\hat x^\epsilon) = \tilde f(x^\epsilon)$: \vspace{-2mm} -$$\frac{\|\hat x^\epsilon - x^\epsilon\|_X}{\|x^\epsilon\|_X} \leq \varrho\epsilon + o(\epsilon) \text{ für } \epsilon \to 0$$ +\[ \frac{\|\hat x^\epsilon - x^\epsilon\|_X}{\|x^\epsilon\|_X} \leq \varrho\epsilon + o(\epsilon) \text{ für } \epsilon \to 0 \] Vorwärtsstabilität folgt aus Rückwärtsstabilität. @@ -93,7 +93,7 @@ Vorwärtsstabilität folgt aus Rückwärtsstabilität. Für Normen $\| \cdot \|_\circ$, $\| \cdot \|_\star$ auf $\K^n$ bzw. $\K^m$ ist eine Matrixnorm $\| \cdot \| : \K^{m \times n} \rightarrow [0,\infty)$ auf dem Vektorraum der $m \times n$-Matrizen definiert: \vspace*{-4mm} -$$\|A\| := \max_{v \in \K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_\star}{\|v\|_\circ} = \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_\circ = 1 \}} \|Av\|_\star$$ +\[ \|A\| := \max_{v \in \K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_\star}{\|v\|_\circ} = \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_\circ = 1 \}} \|Av\|_\star \] \subsubsection*{Eigenschaften} @@ -106,19 +106,19 @@ Submultiplikativität: $\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$ Induzierte Matrixnorm bei Wahl der $p$-Normen über $\K^n$ bzw. $\K^m$: \vspace*{-4mm} -$$\|A\|_p := \max_{v \in \K^n} \frac{\|Av\|_p}{\|v\|_p} = \max_{\|v\|_p = 1} \|Av\|_p \text{ für } 1 \leq p \leq \infty$$ +\[ \|A\|_p := \max_{v \in \K^n} \frac{\|Av\|_p}{\|v\|_p} = \max_{\|v\|_p = 1} \|Av\|_p \text{ für } 1 \leq p \leq \infty \] \subsubsection*{Spaltensummennorm} Für $A = (a_1, \cdots, a_n)$ mit $a_j \in \K^m$: \vspace*{-4mm} -$$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \|a_j\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|$$ +\[ \|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \|a_j\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}| \] \subsubsection*{Zeilensummennorm} \vspace*{-4mm} -$$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|$$ +\[ \|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}| \] \subsubsection*{Spektralnorm} @@ -163,7 +163,7 @@ Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetz \subsection*{Neumannsche-Reihe} \vspace{-2mm} -$$(Id-M)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty M^k$$ +\[ (Id-M)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty M^k \] \subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} @@ -222,7 +222,7 @@ Für alle $A \in \R^{m \times n}$ mit $m \geq n$ und $Rang(A)=n$ existiert $A=QR \subsubsection*{Householder-Reflexionen} -$$H(v) := Id_m - 2 \frac{vv^T}{v^Tv} = Id_m - 2 \frac{vv^T}{\|v\|_2^2} \text{ für } \forall v \in \R^m \setminus \{0\}$$ +\[ H(v) := Id_m - 2 \frac{vv^T}{v^Tv} = Id_m - 2 \frac{vv^T}{\|v\|_2^2} \text{ für } \forall v \in \R^m \setminus \{0\} \] Solche $H(v)$ sind orthogonal und symmetrisch, d.h. $H(v)^T H(v)=Id_m$ und $H(v)^2=Id_m$. @@ -235,7 +235,7 @@ Solche Reflexionen können durch wiederholte Anwendung Matrizen in obere Dreieck Gesucht ist $v \in \R^m$ für $y \in \R^m$ s.d.: \vspace{-2mm} -$$H(v)y=y - 2 \frac{\skp{v,y}}{\|v\|_2^2}v \overset{!}{=} \alpha e_1$$ +\[ H(v)y=y - 2 \frac{\skp{v,y}}{\|v\|_2^2}v \overset{!}{=} \alpha e_1 \] Vermeidung von Auslöschung: $\alpha := -sign(y_1)\|y\|_2$ @@ -253,7 +253,7 @@ $R:=Q_p \cdots Q_1 A$, $Q:=Q_1^T \cdots Q_p^T$ s.d. $A=QR$. Mit $c^2 + s^2 = 1, c, s \in \R$ und $l < k$: -$$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} +\[ G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} 1 & & & & & & & & & & \\ & \diagdown & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ @@ -265,18 +265,18 @@ $$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \diagdown & \\ & & & & & & & & & & 1 -\end{smallmatrix}\right)$$ +\end{smallmatrix}\right) \] Wobei $c$ das Diagonalelement der $l$-ten und $k$-ten Zeile, $s$ $k$-tes Element der $l$-ten Zeile, $-s$ $l$-tes Element der $k$-ten Zeile. Givens-Rotationen sind orthogonal und nicht symmetrisch. $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. \vspace{-4mm} -$$(G(l,k)x)_i = \begin{cases} +\[ (G(l,k)x)_i = \begin{cases} cx_l + sx_k & i=l \\ -sx_l + cx_k & i=k \\ x_i & \text{sonst} -\end{cases}$$ +\end{cases} \] $\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$ ist Rotation um $\varphi$ in Ebene $spann\{e_l,e_k\}$. @@ -353,7 +353,7 @@ Sind $A$ oder $A^T$ diagonaldominant so konvergieren sowohl das Jacobi- als auch \subsubsection*{Gesamtschritt- / Jacobi-Verfahren} -$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{i,j} u_j^k \right) \text{ für } i = 1, \cdots, n$$ +\[ u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{i,j} u_j^k \right) \text{ für } i = 1, \cdots, n \] Für $A = D - L - R$: @@ -367,7 +367,7 @@ Also: $M^{Jac} = Id - D^{-1}A = D^{-1}(L+R)$, $N^{Jac} = D^{-1}$ \subsubsection*{Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren} -$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} u_j^{k+1} - \sum_{j=i}^n a_{i,j} u_j^k \right)$$ +\[ u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} u_j^{k+1} - \sum_{j=i}^n a_{i,j} u_j^k \right) \] Für $A = D - L - R$: @@ -378,24 +378,24 @@ $M^{GS} = (D - L)^{-1}R$, $N^{GS} = (D - L)^{-1}$. Der Krylov-Raum $m$-ter Ordnung bzgl. $B$ und $v$: \vspace{-4mm} -$$\mathcal{U}_m(B,v) := spann\{v,Bv,B^2v, \cdots, B^{m-1}v\} \subset \R^n$$ +\[ \mathcal{U}_m(B,v) := spann\{v,Bv,B^2v, \cdots, B^{m-1}v\} \subset \R^n \] Das Residuuum der $k$-ten Iterierten $u^k$: \vspace{-2mm} -$$r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0$$ +\[ r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0 \] Es gilt: $u^k \in V_k$ mit $V_k = u_0 + \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$. Minimaleigenschaft der $k$-ten Iterierten bzgl. Norm $\|\cdot\|_\star$ auf $\R^n$: \vspace{-2mm} -$$u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\}$$ +\[ u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\} \] Ein Krylov-Raum-Verfahren bzgl. einer Norm $\|\cdot\|_\star$ ist nur dann sinnvoll, wenn $u^k$ mit geringem, d.h. im Bereich von zwei Matrix-Vektormultiplikationen liegendem, numerischen Aufwand aus $u^{k-1}$ hervorgeht. \vspace{-2mm} -$$u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k)$$ +\[ u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k) \] $u^k$ wird in jeder Iteration entsprechend der jeweiligen Charakterisierung minimiert. @@ -408,7 +408,7 @@ Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \appro Das Verfahren der konjugierten Gradienten ist durch die Energienorm charakterisiert und definiert als: \vspace{-2mm} -$$u^k = argmin\{\|v-A^{-1}b\|_A : v \in V_k\}$$ +\[ u^k = argmin\{\|v-A^{-1}b\|_A : v \in V_k\} \] Für positiv definite $A, N \in \R^{n \times n}$ sowie $b \in \R^n$ liefert das CG-Verfahren nach spätestens $n$ Schritten $A^{-1}b$. Eigentlich ist es bei exakter Arithmetik also ein direkter Verfahren, wird aber durch früheren Abbruch als iteratives Verfahren verwendet. @@ -455,20 +455,20 @@ Zu $n+1$ Stützwerten $f_i$ und paarweise verschiedenen Knoten $t_i$ existiert d \subsubsection*{Interpolationsfehler} \vspace{-4mm} -$$\|f-P(f|t_0, \cdots, t_n)\|_\infty \leq \sup_{\tau \in [a,b]} \frac{|f^{(n+1)}(\tau)|}{(n+1)!} \|\omega_{n+1}\|_\infty$$ +\[ \|f-P(f|t_0, \cdots, t_n)\|_\infty \leq \sup_{\tau \in [a,b]} \frac{|f^{(n+1)}(\tau)|}{(n+1)!} \|\omega_{n+1}\|_\infty \] $\omega_{n+1} \in \Pi_{n+1}$ ist das \emph{Newton-Polynom} bzgl. $t_0, \cdots, t_n$ mit $\omega_{n+1}(t) := \prod_{i=0}^n (t-t_i)$. \subsection*{Vandermonde-Matrix} -$$\begin{pmatrix} +\[ \begin{pmatrix} 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}$$ +\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix} \] Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, was jedoch zu aufwändig ist. @@ -476,7 +476,7 @@ Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, w Basis $\{L_{n,0},\cdots,L_{n,n}\}$ von $\Pi_n$ abhg. $t_0 < \cdots < t_n$ wg. $L_{n,k}(t_i) = \delta_{k,i} = \begin{cases}1 & k=i \\ 0 & sonst\end{cases}$ -$$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$ +\[ L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j} \] Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$ @@ -489,7 +489,7 @@ Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen $P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$ \vspace{-2mm} -$$\frac{(t_0-t)P(f|t_1,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ +\[ \frac{(t_0-t)P(f|t_1,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n} \] \subsubsection*{Schema von Neville} @@ -506,7 +506,7 @@ P_{i,k} &= \frac{(t_{i-k}-t)P_{i,k-1} - (t_i-t)P_{i-1,k-1}}{t_{i-k}-t_i} \\ Für $i = 0,\cdots,n$: \vspace{-2mm} -$$t_i^{[a,b]} = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{2i+1}{2n+2} \pi\right)$$ +\[ t_i^{[a,b]} = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{2i+1}{2n+2} \pi\right) \] Diese Knotenfolge liegt dichter zu den Intervallgrenzen hin und ergibt eine bessere Interpolation als äquidistante Knoten. @@ -539,13 +539,13 @@ Zusätzlich gilt auch $(t-t_i)_+^{k-1} \in S_{k,\Delta}$ Abgebrochene Potenzen vom Grad $k-1$: -$$(t-t_i)_+^{k-1} := \begin{cases}(t-t_i)^{k-1} &: t \geq t_i \\ 0 &: t < t_i\end{cases}$$ +\[ (t-t_i)_+^{k-1} := \begin{cases}(t-t_i)^{k-1} &: t \geq t_i \\ 0 &: t < t_i\end{cases} \] Für $t_i \in \Delta$, $i \neq l+1$ \subsubsection*{Basis des Spline-Raumes} -$$\mathcal{B} = \{1,t,\cdots,t^{k-1},(t-t_1)_+^{k-1},\cdots,(t-t_l)_+^{k-1}\}$$ +\[ \mathcal{B} = \{1,t,\cdots,t^{k-1},(t-t_1)_+^{k-1},\cdots,(t-t_l)_+^{k-1}\} \] ist eine Basis von $S_{k,\Delta}$ mit $\dim(S_{k,\Delta}) = k + l$. @@ -557,7 +557,7 @@ Interpolation einer Funktion $f$ bzgl. eines Gitters $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l Im linearen Fall mit $k=2$ stimmt die Anzahl der Knoten $l+2$ mit $\dim(S_{2,\Delta})=l+2$ überein. Es gibt also genau einen Spline der $(t_i,f(t_i))$ interpoliert. -$$I_2 f = \sum_{i=0}^{l+1} f(t_i) B_i$$ +\[ I_2 f = \sum_{i=0}^{l+1} f(t_i) B_i \] Für $B_i \in S_{2,\Delta}$ mit $B_i(t_k) = \delta_{i,k}$ @@ -577,13 +577,13 @@ Eine zusätzliche Bedingung ist, dass der interpolierende kubische Spline die mi Krümmung von $y : [a,b] \rightarrow \R, y \in \mathcal{C}^2$: -$$\kappa(t) := \frac{y''(t)}{(1+y'(t))^{3/2}}$$ +\[ \kappa(t) := \frac{y''(t)}{(1+y'(t))^{3/2}} \] $1/\kappa(t)$ ist der Radius des \emph{Krümmungskreises}. Das Krümmungsverhalten von $y$ über ganz $[a,b]$ ist durch ein Integral messbar: -$$\|y''\|_2 := \left(\int_a^b y''(t)^2 dt\right)^{1/2}$$ +\[ \|y''\|_2 := \left(\int_a^b y''(t)^2 dt\right)^{1/2} \] \subsubsection*{Randbedingungen} |