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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 7b37e3c..2a42329 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -160,6 +160,10 @@ $A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\for Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetzt sein kann. +\subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} + +Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$. + \section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} \subsection*{Cramersche Regel} @@ -378,13 +382,14 @@ $$u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\}$$ Ein Krylov-Raum-Verfahren bzgl. einer Norm $\|\cdot\|_\star$ ist nur dann sinnvoll, wenn $u^k$ mit geringem, d.h. im Bereich von zwei Matrix-Vektormultiplikationen liegendem, numerischen Aufwand aus $u^{k-1}$ hervorgeht. -\subsection*{Vorkonditionierer} +\vspace{-2mm} +$$u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k)$$ -Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \approx A^{-1}$ möglichst gelten. +$u^k$ wird in jeder Iteration entsprechend der jeweiligen Charakterisierung minimiert. -\subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} +\subsection*{Vorkonditionierer} -Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$. +Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \approx A^{-1}$ möglichst gelten. \subsection*{CG-Verfahren} |