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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 5e4f9ad..c9e6733 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -62,7 +62,7 @@ Existiert $\limsup$ nicht wird $\kappa_f(x)=\infty$ gesetzt und das Problem als Für $f \in \mathcal{C}^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: \vspace*{-2mm} -$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\| \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ +$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\|_\infty \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ \subsection*{Stabilität numerischer Algorithmen} @@ -385,7 +385,7 @@ Das Residuuum der $k$-ten Iterierten $u^k$: \vspace{-2mm} $$r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0$$ -Es gilt: $u^k \in u^0 + V_k$ mit $V_k = \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$. +Es gilt: $u^k \in V_k$ mit $V_k = u_0 + \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$. Minimaleigenschaft der $k$-ten Iterierten bzgl. Norm $\|\cdot\|_\star$ auf $\R^n$: @@ -428,7 +428,7 @@ $p_k$ und $x_k$ sind $A$-konjugiert. $f(x_k + \alpha_k p_k)$ wird via $\alpha_k$ \beta_k &= \frac{\skp{r_{k+1},p_k}_A}{\|p_k\|_A^2} = \frac{\skp{r_{k+1},r_{k+1}}_2}{\|r_k\|_2^2} \end{align*} -Es gilt also $x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$. +Es gilt also $x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k$ und $r_{k+1} = r_k - \alpha_k A p_k$. \subsection*{GMRES-Verfahren} @@ -487,8 +487,9 @@ Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen \subsubsection*{Lemma von Aitken} $P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$ + \vspace{-2mm} -$$\frac{(t_0-t)P(f|t_i,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ +$$\frac{(t_0-t)P(f|t_1,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ \subsubsection*{Schema von Neville} |