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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 483a52f..43772bd 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -1,118 +1,126 @@ +% Borel Sigma-Algebra Kürzel +\newcommand{\A}{\mathcal{A}} +\newcommand{\B}{\mathcal{B}} +\newcommand{\C}{\mathcal{C}} +\newcommand{\E}{\mathcal{E}} +\newcommand{\J}{\mathcal{J}} +\newcommand{\F}{\mathcal{F}} + \section*{Nützliches aus der Mengenlehre} \subsection*{De Morgansche Regeln} -Sei $\mathcal{B}$ ein Mengensystem. +Sei $\B$ ein Mengensystem. -$$\left(\bigcup_{B\in \mathcal{B}} B \right)^c = \bigcap_{B\in \mathcal{B}} B^c \hspace*{8mm} \left(\bigcap_{B\in \mathcal{B}} \right)^c = \bigcup_{B\in \mathcal{B}} B^c$$ +$$\left(\bigcup_{B\in \B} B \right)^c = \bigcap_{B\in \B} B^c \hspace*{8mm} \left(\bigcap_{B\in \B} \right)^c = \bigcup_{B\in \B} B^c$$ \subsection*{Mengen-Ring} -Ein Mengensystem $\mathcal{A}$ ist ein Ring gdw. $\forall A, B \in \mathcal{A}$: +Ein Mengensystem $\A$ ist ein Ring gdw. $\forall A, B \in \A$: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\emptyset \in \mathcal{A}$ - \item $B\setminus A \in \mathcal{A}$ - \item $A \cup B \in \mathcal{A}$ + \item $\emptyset \in \A$ + \item $B\setminus A \in \A$ + \item $A \cup B \in \A$ \end{enumerate} \section*{$\sigma$-Algebren} -Ein Mengensystem $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ist $\sigma$-Algebra auf der nichtleeren Menge $X$ gdw.: +Ein Mengensystem $\A \subseteq \powerset{X}$ ist $\sigma$-Algebra auf der nichtleeren Menge $X$ gdw.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $X \in \mathcal{A}$ - \item $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c := X\setminus A \in \mathcal{A}$ - \item $\forall j \in \N : A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A}$ + \item $X \in \A$ + \item $A \in \A \Rightarrow A^c := X\setminus A \in \A$ + \item $\forall j \in \N : A_j \in \A \Rightarrow \bigcup_{j\in \N} A_j \in \A$ \end{enumerate} \subsection*{Eigenschaften von $\sigma$-Algebren} -Seien $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \mathcal{A}$, dann ist $\mathcal{A}$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: +Seien $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \A$, dann ist $\A$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\emptyset = X^c \in \mathcal{A}$ - \item $A_1 \bigcup \cdots \bigcup A_n \in \mathcal{A}$ - \item $A_1 \bigcap \cdots \bigcap A_n \in \mathcal{A}$ - \item $\bigcap_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A}$ - \item $A_1 \setminus A_2 := A_1 \bigcap A_2^c \in \mathcal{A}$ + \item $\emptyset = X^c \in \A$ + \item $A_1 \bigcup \cdots \bigcup A_n \in \A$ + \item $A_1 \bigcap \cdots \bigcap A_n \in \A$ + \item $\bigcap_{j\in \N} A_j \in \A$ + \item $A_1 \setminus A_2 := A_1 \bigcap A_2^c \in \A$ \end{enumerate} \subsection*{Erzeugte $\sigma$-Algebren} -Die durch das nichtleere Mengensystem $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ auf $X$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist wie folgt definiert: +Die durch das nichtleere Mengensystem $\E \subseteq \powerset{X}$ auf $X$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist wie folgt definiert: \vspace*{-4mm} -$$\sigma(\mathcal{E}) := \bigcap\{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X) | \mathcal{A} \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \}$$ +$$\sigma(\E) := \bigcap\{ \A \subseteq \powerset{X} | \A \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \E \subseteq \A \}$$ -Der Erzeuger $\mathcal{E}$ ist hierbei allg. nicht eindeutig. +Der Erzeuger $\E$ ist hierbei allg. nicht eindeutig. \subsubsection*{Eigenschaften erzeugter $\sigma$-Algebren} -Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$, dann gilt: +Sei $\emptyset \neq \E \subseteq \powerset{X}$, dann gilt: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\mathcal{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\land$ $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{E} \subseteq \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}$ - \item $\sigma(\mathcal{E})$ ist kleinste $\mathcal{E}$ enthaltende $\sigma$-Algebra. - \item $\mathcal{E}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathcal{E} = \sigma(\mathcal{E})$ - \item $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{E}' \subseteq \mathcal{P}(X) \Rightarrow \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \sigma(\mathcal{E}')$ + \item $\A$ ist $\sigma$-Algebra $\land$ $\E \subseteq \A \Rightarrow \E \subseteq \sigma(\E) \subseteq \A$ + \item $\sigma(\E)$ ist kleinste $\E$ enthaltende $\sigma$-Algebra. + \item $\E$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \E = \sigma(\E)$ + \item $\E \subseteq \E' \subseteq \powerset{X} \Rightarrow \sigma(\E) \subseteq \sigma(\E')$ \end{enumerate} \subsection*{Borelsche $\sigma$-Algebra} -Sei $X$ ein metrischer Raum und $\mathcal{O}(X)$ das System der in $X$ offenen Mengen, dann ist $\mathcal{B}(X) := \sigma(\mathcal{O}(X))$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $X$. +Sei $X$ ein metrischer Raum und $\mathcal{O}(X)$ das System der in $X$ offenen Mengen, dann ist $\B(X) := \sigma(\mathcal{O}(X))$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $X$. -Im Speziellen wird $\mathcal{B}_m := \mathcal{B}(\R^m)$ gesetzt. +Im Speziellen wird $\B_m := \B(\R^m)$ gesetzt. -$\mathcal{B}_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\R^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte. +$\B_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\R^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte. \subsubsection*{Charakterisierung} \vspace*{-4mm} \begin{align*} - \mathcal{B}_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\ + \B_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\ &= \sigma(\{(a, b] | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \end{align*} \section*{Maße auf $\sigma$-Algebren} -Sei $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. +Sei $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$. -$\mu : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\mathcal{A}$ gdw.: +$\mu : \A \rightarrow [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\A$ gdw.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\mu(\emptyset) = 0$ - \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \N\} \subseteq \mathcal{A} :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ + \item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \N\} \subseteq \A :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ \end{enumerate} \subsection*{Maßraum} -Ein Tripel $(X, \mathcal{A}, \mu)$ ist Maßraum. Ein endlicher Maßraum erfüllt zusätzlich $\mu(X) < \infty$. +Ein Tripel $(X, \A, \mu)$ ist Maßraum. Ein endlicher Maßraum erfüllt zusätzlich $\mu(X) < \infty$. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt $\mu(X) = 1$. \subsection*{Punkt- / Diracmaß} -Für fest gewählte $\mathcal{A} = \mathcal{P}(X)$, $x \in X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für $A \subseteq X$ definiert: +Für fest gewählte $\A = \powerset{X}$, $x \in X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für $A \subseteq X$ definiert: $$\delta_x(A) := \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}$$ -Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\mathcal{A}$ genannt. +Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\A$ genannt. \subsection*{Zählmaß} -Sei $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\N)$ und $\forall j \in \N : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt. +Sei $\A = \powerset{\N}$ und $\forall j \in \N : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt. -$\mu(A) := \sum_{j\in A} p_j$ für $A \subseteq \N$ ist Maß auf $\mathcal{P}(\N)$. +$\mu(A) := \sum_{j\in A} p_j$ für $A \subseteq \N$ ist Maß auf $\powerset{\N}$. Gilt zusätzlich $\forall j \in \N : p_j = 1$ so heißt $\mu$ Zählmaß. \subsection*{Eigenschaften von Maßen} -Sei $(X, \mathcal{A}, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \mathcal{A}$ für $j \in \N$. +Sei $(X, \A, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \A$ für $j \in \N$. \begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=26mm] \item[Monotonie] $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ @@ -127,62 +135,59 @@ Für endliche Maße gilt insb. $\mu(A^c) = \mu(X) - \mu(A)$. \subsection*{Prämaß} -Eine Abb. $f : \mathcal{A} \rightarrow [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\mathcal{A}$ gdw.: +Eine Abb. $f : \A \rightarrow [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\A$ gdw.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\mu(\emptyset) = 0$ - \item $\{A_j | j \in \N\} \subseteq \mathcal{A}$ disjunkt und $A = \bigcup_{j\in \N} A_j \in \mathcal{A} \Rightarrow \mu(A) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ + \item $\{A_j | j \in \N\} \subseteq \A$ disjunkt und $A = \bigcup_{j\in \N} A_j \in \A \Rightarrow \mu(A) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$ \end{enumerate} \section*{Lebesguemaß} \subsection*{System der Intervalle} -Sei $I = (a, b] \subseteq \R^m$ für $a, b \in \R^m$ mit $a \leq b$, dann wird das System von Intervallen $\mathcal{J}_m$ definiert: +Sei $I = (a, b] \subseteq \R^m$ für $a, b \in \R^m$ mit $a \leq b$, dann wird das System von Intervallen $\J_m$ definiert: $\lambda(I) = \lambda_m(I) := (b_1 - a_1) \cdot \hdots \cdot (b_m - a_m)$ \subsection*{Ring der Figuren} -$$\mathcal{F}_m = \left\{ A = \bigcup_{j=1}^n I_j | I_j \in \mathcal{J}_m, n \in \N \right\}$$ +$$\F_m = \left\{ A = \bigcup_{j=1}^n I_j | I_j \in \J_m, n \in \N \right\}$$ \subsubsection*{Eigenschaften} -Seien $I_1, I_2 \in \mathcal{J}_m$: +Seien $I_1, I_2 \in \J_m$: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $\sigma(\mathcal{F}_m) = \mathcal{B}_m$ - \item $I_1 \cap I_2 \in \mathcal{J}_m$ - \item $I_1 \setminus I_2 \in \mathcal{F}_m$ sowie endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\mathcal{J}_m$ - \item $\forall A \in \mathcal{F}_m: A$ ist endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\mathcal{J}_m$ - \item $\mathcal{F}_m$ ist Ring + \item $\sigma(\F_m) = \B_m$ + \item $I_1 \cap I_2 \in \J_m$ + \item $I_1 \setminus I_2 \in \F_m$ sowie endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\J_m$ + \item $\forall A \in \F_m: A$ ist endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\J_m$ + \item $\F_m$ ist Ring \end{enumerate} \section*{Messbare Funktionen} -Sei $\mathcal{A}$ eine $\sigma$-Algebra auf $X\neq \emptyset$ und $\mathcal{B}$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y\neq \emptyset$ sowie $f : X \rightarrow Y$ Funktion. +Sei $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X\neq \emptyset$ und $\B$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y\neq \emptyset$ sowie $f : X \rightarrow Y$ Funktion. -$f$ heißt ($\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-)messbar gdw. $\forall B \in \mathcal{B} : f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ +$f$ heißt ($\A$-$\B$-)messbar gdw. $\forall B \in \B : f^{-1}(B) \in \A$ \subsection*{Borel-Messbarkeit} Seien $X, Y$ metrische Räume. -Die Funktion $f : X \rightarrow Y$ heißt Borel-messbar, wenn sie $\mathcal{B}(X)$-$\mathcal{B}(Y)$-messbar ist. +Die Funktion $f : X \rightarrow Y$ heißt Borel-messbar, wenn sie $\B(X)$-$\B(Y)$-messbar ist. \subsection*{Eigenschaften} -Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ $\sigma$-Algebren auf $X, Y, Z \neq \emptyset$. +Seien $\A, \B, \C$ $\sigma$-Algebren auf $X, Y, Z \neq \emptyset$. \begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $f : X \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-mb., $g : Y \rightarrow Z$ ist $\mathcal{B}$-$\mathcal{C}$-mb. $\Rightarrow g \circ f : X \rightarrow Z$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{C}$-mb. - \item $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(Y)$, $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$, $f: X \rightarrow Y$ dann ist $f$ messbar gdw. $\forall E \in \mathcal{E} : f^{-1}(E) \in \mathcal{A}$ + \item $f : X \rightarrow Y$ ist $\A$-$\B$-mb., $g : Y \rightarrow Z$ ist $\B$-$\C$-mb. $\Rightarrow g \circ f : X \rightarrow Z$ ist $\A$-$\C$-mb. + \item $\emptyset \neq \E \subseteq \powerset{Y}$, $\B = \sigma(\E)$, $f: X \rightarrow Y$ dann ist $f$ messbar gdw. $\forall E \in \E : f^{-1}(E) \in \A$ \item $X, Y$ metrische Räume, $f : X \rightarrow Y$ stetig $\Rightarrow f$ ist Borel-messbar - \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. gdw. $\forall i \in \{1, \dots, m\} : f_i : X \rightarrow \R$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. - \item $f, g$ sind $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. und $\alpha, \beta \in \R \Rightarrow fg : X \rightarrow \R$ und $\frac{1}{f} : \{x \in X | f(x) \neq 0\} \rightarrow \R$ mb. - \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \R; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. - \item $X = W \dot\cup Z$ mit $\emptyset \neq W, Z \in \mathcal{A}$, $f : W \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_W$-$\mathcal{B}$-mb., $g : Z \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_Z$-$\mathcal{B}$-mb. $\Rightarrow h(x) = \begin{cases} - f(x) & x \in W \\ - g(x) & x \in Z -\end{cases}$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-mb. + \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\A$-$\B_m$-mb. gdw. $\forall i \in \{1, \dots, m\} : f_i : X \rightarrow \R$ ist $\A$-$\B_1$-mb. + \item $f, g$ sind $\A$-$\B_1$-mb. und $\alpha, \beta \in \R \Rightarrow fg : X \rightarrow \R$ und $\frac{1}{f} : \{x \in X | f(x) \neq 0\} \rightarrow \R$ mb. + \item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\A$-$\B_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \R; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\A$-$\B_1$-mb. + \item $X = W \dot\cup Z$ mit $\emptyset \neq W, Z \in \A$, $f : W \rightarrow Y$ ist $\A_W$-$\B$-mb., $g : Z \rightarrow Y$ ist $\A_Z$-$\B$-mb. $\Rightarrow h(x) = \begin{cases} f(x) & x \in W \\ g(x) & x \in Z \end{cases}$ ist $\A$-$\B$-mb. \end{enumerate} |