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% Borel Sigma-Algebra Kürzel
\newcommand{\A}{\mathcal{A}}
\newcommand{\B}{\mathcal{B}}
\newcommand{\C}{\mathcal{C}}
\newcommand{\E}{\mathcal{E}}
\newcommand{\J}{\mathcal{J}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\section*{Nützliches aus der Mengenlehre}
\subsection*{De Morgansche Regeln}
Sei $\B$ ein Mengensystem.
$$\left(\bigcup_{B\in \B} B \right)^c = \bigcap_{B\in \B} B^c \hspace*{8mm} \left(\bigcap_{B\in \B} \right)^c = \bigcup_{B\in \B} B^c$$
\subsection*{Mengen-Ring}
Ein Mengensystem $\A$ ist ein Ring gdw. $\forall A, B \in \A$:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\emptyset \in \A$
\item $B\setminus A \in \A$
\item $A \cup B \in \A$
\end{enumerate}
\section*{$\sigma$-Algebren}
Ein Mengensystem $\A \subseteq \powerset{X}$ ist $\sigma$-Algebra auf der nichtleeren Menge $X$ gdw.:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $X \in \A$
\item $A \in \A \Rightarrow A^c := X\setminus A \in \A$
\item $\forall j \in \N : A_j \in \A \Rightarrow \bigcup_{j\in \N} A_j \in \A$
\end{enumerate}
\subsection*{Eigenschaften von $\sigma$-Algebren}
Seien $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \A$, dann ist $\A$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\emptyset = X^c \in \A$
\item $A_1 \bigcup \cdots \bigcup A_n \in \A$
\item $A_1 \bigcap \cdots \bigcap A_n \in \A$
\item $\bigcap_{j\in \N} A_j \in \A$
\item $A_1 \setminus A_2 := A_1 \bigcap A_2^c \in \A$
\end{enumerate}
\subsection*{Erzeugte $\sigma$-Algebren}
Die durch das nichtleere Mengensystem $\E \subseteq \powerset{X}$ auf $X$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist wie folgt definiert:
\vspace*{-4mm}
$$\sigma(\E) := \bigcap\{ \A \subseteq \powerset{X} | \A \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \E \subseteq \A \}$$
Der Erzeuger $\E$ ist hierbei allg. nicht eindeutig.
\subsubsection*{Eigenschaften erzeugter $\sigma$-Algebren}
Sei $\emptyset \neq \E \subseteq \powerset{X}$, dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\A$ ist $\sigma$-Algebra $\land$ $\E \subseteq \A \Rightarrow \E \subseteq \sigma(\E) \subseteq \A$
\item $\sigma(\E)$ ist kleinste $\E$ enthaltende $\sigma$-Algebra.
\item $\E$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \E = \sigma(\E)$
\item $\E \subseteq \E' \subseteq \powerset{X} \Rightarrow \sigma(\E) \subseteq \sigma(\E')$
\end{enumerate}
\subsection*{Borelsche $\sigma$-Algebra}
Sei $X$ ein metrischer Raum und $\mathcal{O}(X)$ das System der in $X$ offenen Mengen, dann ist $\B(X) := \sigma(\mathcal{O}(X))$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $X$.
Im Speziellen wird $\B_m := \B(\R^m)$ gesetzt.
$\B_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\R^m$ sowie deren abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitte.
\subsubsection*{Charakterisierung}
\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
\B_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\
&= \sigma(\{(a, b] | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\})
\end{align*}
\section*{Maße auf $\sigma$-Algebren}
Sei $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
$\mu : \A \rightarrow [0, \infty]$ ist positives Maß auf $\A$ gdw.:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\mu(\emptyset) = 0$
\item $\forall \text{ disjunkte } \{A_j | j \in \N\} \subseteq \A :\\ \hspace*{4mm} \mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$
\end{enumerate}
\subsection*{Maßraum}
Ein Tripel $(X, \A, \mu)$ ist Maßraum. Ein endlicher Maßraum erfüllt zusätzlich $\mu(X) < \infty$.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt $\mu(X) = 1$.
\subsection*{Punkt- / Diracmaß}
Für fest gewählte $\A = \powerset{X}$, $x \in X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für $A \subseteq X$ definiert:
$$\delta_x(A) := \begin{cases}
1 & x \in A \\
0 & x \notin A
\end{cases}$$
Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\A$ genannt.
\subsection*{Zählmaß}
Sei $\A = \powerset{\N}$ und $\forall j \in \N : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt.
$\mu(A) := \sum_{j\in A} p_j$ für $A \subseteq \N$ ist Maß auf $\powerset{\N}$.
Gilt zusätzlich $\forall j \in \N : p_j = 1$ so heißt $\mu$ Zählmaß.
\subsection*{Eigenschaften von Maßen}
Sei $(X, \A, \mu)$ Maßraum und $A, B, A_j \in \A$ für $j \in \N$.
\begin{description}[leftmargin=!,labelwidth=26mm]
\item[Monotonie] $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$
\item[$\sigma$-Subadditivität] $\mu(\dot\bigcup_{j\in \N} A_j) \leq \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$
\item[Stetigkeit (unten)] $A_j \uparrow \Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcup_{j\in \N} A_j)$
\item[Stetigkeit (oben)] $A_j \downarrow \land \hspace*{1mm} \mu(A_1) < \infty \\ \hspace*{4mm}\Rightarrow \displaystyle\lim_{j\to \infty} \mu(A_j) = \mu(\bigcap_{j\in \N} A_j)$
\end{description}
Für $\mu(A) < \infty$ folgt $\mu(B\setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$.
Für endliche Maße gilt insb. $\mu(A^c) = \mu(X) - \mu(A)$.
\subsection*{Prämaß}
Eine Abb. $f : \A \rightarrow [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\A$ gdw.:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\mu(\emptyset) = 0$
\item $\{A_j | j \in \N\} \subseteq \A$ disjunkt und $A = \bigcup_{j\in \N} A_j \in \A \Rightarrow \mu(A) = \sum_{j\in \N} \mu(A_j)$
\end{enumerate}
\section*{Lebesguemaß}
\subsection*{System der Intervalle}
Sei $I = (a, b] \subseteq \R^m$ für $a, b \in \R^m$ mit $a \leq b$, dann wird das System von Intervallen $\J_m$ definiert:
$\lambda(I) = \lambda_m(I) := (b_1 - a_1) \cdot \hdots \cdot (b_m - a_m)$
\subsection*{Ring der Figuren}
$$\F_m = \left\{ A = \bigcup_{j=1}^n I_j | I_j \in \J_m, n \in \N \right\}$$
\subsubsection*{Eigenschaften}
Seien $I_1, I_2 \in \J_m$:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\sigma(\F_m) = \B_m$
\item $I_1 \cap I_2 \in \J_m$
\item $I_1 \setminus I_2 \in \F_m$ sowie endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\J_m$
\item $\forall A \in \F_m: A$ ist endliche Vereinigung disjunkter Intervalle aus $\J_m$
\item $\F_m$ ist Ring
\end{enumerate}
\section*{Messbare Funktionen}
Sei $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X\neq \emptyset$ und $\B$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y\neq \emptyset$ sowie $f : X \rightarrow Y$ Funktion.
$f$ heißt ($\A$-$\B$-)messbar gdw. $\forall B \in \B : f^{-1}(B) \in \A$
\subsection*{Borel-Messbarkeit}
Seien $X, Y$ metrische Räume.
Die Funktion $f : X \rightarrow Y$ heißt Borel-messbar, wenn sie $\B(X)$-$\B(Y)$-messbar ist.
\subsection*{Eigenschaften}
Seien $\A, \B, \C$ $\sigma$-Algebren auf $X, Y, Z \neq \emptyset$.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $f : X \rightarrow Y$ ist $\A$-$\B$-mb., $g : Y \rightarrow Z$ ist $\B$-$\C$-mb. $\Rightarrow g \circ f : X \rightarrow Z$ ist $\A$-$\C$-mb.
\item $\emptyset \neq \E \subseteq \powerset{Y}$, $\B = \sigma(\E)$, $f: X \rightarrow Y$ dann ist $f$ messbar gdw. $\forall E \in \E : f^{-1}(E) \in \A$
\item $X, Y$ metrische Räume, $f : X \rightarrow Y$ stetig $\Rightarrow f$ ist Borel-messbar
\item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\A$-$\B_m$-mb. gdw. $\forall i \in \{1, \dots, m\} : f_i : X \rightarrow \R$ ist $\A$-$\B_1$-mb.
\item $f, g$ sind $\A$-$\B_1$-mb. und $\alpha, \beta \in \R \Rightarrow fg : X \rightarrow \R$ und $\frac{1}{f} : \{x \in X | f(x) \neq 0\} \rightarrow \R$ mb.
\item $f : X \rightarrow \R^m$ ist $\A$-$\B_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \R; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\A$-$\B_1$-mb.
\item $X = W \dot\cup Z$ mit $\emptyset \neq W, Z \in \A$, $f : W \rightarrow Y$ ist $\A_W$-$\B$-mb., $g : Z \rightarrow Y$ ist $\A_Z$-$\B$-mb. $\Rightarrow h(x) = \begin{cases} f(x) & x \in W \\ g(x) & x \in Z \end{cases}$ ist $\A$-$\B$-mb.
\end{enumerate}
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