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diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex index 2ed1e30..3c53bdf 100644 --- a/content/markov.tex +++ b/content/markov.tex @@ -94,14 +94,46 @@ f_{ij}^{(n)} :&= \P(T_j = n | X_0 = i) = \P_i(T_j = n) \\ $f_{ij}^{(n)}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit von $i$ startend nach genau $n$ Schritten in $j$ anzugelangen. +$f_{ij}^* := \sum_{n=0}^\infty f_{ij}^{(n)} = \P_i(\exists n \in \N : X_n = j)$ + \vspace*{2mm} Ein Zustand $i \in S$ mit $f_{ii}^* = 1$ ist \emph{rekurrent}. Gilt $f_{ii}^* \neq 1$ so ist $i \in S$ \emph{transient}. +$\forall n \in \N, i, j \in S : p_{ij}^{(n)} = \displaystyle\sum_{k=1}^n f_{ij}^{(k)} p_{jj}^{(n-k)}$ + Zustand $i \in S$ ist rekurrent gdw. $\displaystyle\sum_{n = 0}^\infty p_{ii}^{(n)} = \infty$. \subsubsection*{Solidaritätsprinzip} Ist Zustand $i \in S$ rekurrent bzw. transient, so ist $\forall j \in K(i)$ seiner Klasse rekurrent bzw. transient. + +\vspace*{2mm} + +Liegen $i, j \in S$ in der selben rekurrenten Klasse, so gilt: $f_{ij}^* = f_{ji}^* = 1$. + +\subsubsection*{Abgeschlossenheit} + +Ist eine Klasse $K \subseteq S$ rekurrent so ist $S$ abgeschlossen, d.h. $(p_{ij}, i,j \in K)$ ist stochastisch. + +\vspace*{2mm} + +Ist eine Klasse $K \subseteq S$ abgeschlossen und endlich, so ist $K$ rekurrent. + +\section*{Absorptionswahrscheinlichkeiten} + +Zustandsmenge $S$ ist zerlegbar in rekurrente Klassen $K_1, \dots, K_m$ und eine Menge transienter Zustände $T$ s.d. $S = T \cup K_1 \cup \cdots \cup K_m$. + +\vspace*{1mm} + +Sei $\tau = \inf\{ n \geq 0 | X_n \notin T\}$ die Austrittszeit aus der transienten Menge, d.h. der Zeitpunkt der Absorption in eine der rekurrenten Klassen. + +\vspace*{1mm} + +Sei $i \in T, k \in T^c$ und $u_{ik} = \P_i(X_\tau = k)$. + +\vspace*{2mm} + +Für $i \in T, j \in T^c$ gilt: $u_{ij} = \displaystyle\sum_{k \in T} p_{ik} u_{kj} + p_{ij}$ |