aboutsummaryrefslogtreecommitdiff
path: root/content/optimierungstheorie.tex
blob: ff893c706dd6d58098c8ec1ae2781261ef3a92e0 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
\section*{Optimierungsprobleme}

Sei \(f: M \to \R\). Ein Optimierungsproblem ist:
\[(P) \ \min_{x \in M} f(x)\]

\((P)\) ist \emph{zulässig}, wenn \(M \neq \emptyset\).

\(x \in M\) ist zulässiger Punkt.

\(\exists \hat x \in M \forall x \in M : f(\hat x) \leq f(x)\), so ist \((P)\) lösbar.

Die Menge der Lösungen von \((P)\) ist:
\[\text{argmin}_{x \in M} f = \{ \hat x \in M | \forall x \in M : f(\hat x) \leq f(x) \}\]

\subsection*{Klassifizierung}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Endlich dim. Probleme mit \(M \subseteq \R^m\)
	\item Lineare Probleme (vgl. LP)
	\item Konvexe Probleme
	\item Differenzierbare Probleme
\end{enumerate}

\section*{Lineare Programme}

\((P) \ \min_{x \in M} f(x)\) ist linear, wenn:

\(f: \R^n \to \R\) affin linear ist mit \(f(x)=c^\top x + c_0\) für \(c \in \R^n, c_0 \in \R\) und \(M\) folgende Darstellung besitzt:

\(M = \{ x \in \R^n | A_g x = b_g, A_u x \leq b_u \}\) mit \\ \(A = (A_g \ A_n)^\top \in \R^{(m+p) \times n}, b = (b_g \ b_u)^\top \in \R^{m+p}\)

\subsection*{Normalform}

Ein LP \((P_N)\) ist in Normalform gegeben, wenn \(A \in \R^{m \times n}, b \in \R^m\) und \(c \in \R^n\) ex. s.d. gilt:
\[(P_N) \ \min c^\top x \text{ mit } M_N = \{ x \in \R_{\geq 0}^n | Ax=b \}\]

Jedes LP \((P)\) besitzt Normalform \((P_N)\).

Dafür werden Ungleichungsbedingungen über \emph{Schlupfvariablen} umgeformt:
\[ A_u x \leq b_u \rightsquigarrow x_i^s = (b_u)_i - (A_u x)_i \text{ für } i = 1,\dots,s \]

\subsection*{Konvexe Mengen}

\(U \subseteq \R^n\) ist \emph{konvex}, wenn für \(x, y \in U \land \lambda \in [0,1] : (1-\lambda)x + \lambda y \in U\) gilt.

\spacing

\( v = \sum_{j=1}^m \lambda_j v^{(j)} \) mit \( \lambda_j \in [0,1] \land \sum_{j=1}^m \lambda_j = 1\) heißt \emph{Konvexkombination} von \( v^{(1)}, \dots, v^{(m)} \).

\spacing

\((M_N)\) der Normalform ist konvex.

\spacing

Schnitte endlich vieler Halbräume in \(R^n\) heißen \emph{Polyeder}, beschränkte Polyeder heißen \emph{Polytope}.

\spacing

\(M_n\) ist Polytop gdw. \( \not\exists y \in \R_{\geq 0}^n \setminus \{0\} : Ay = 0 \).

\subsubsection*{Charakterisierung von Ecken in \(M_N\)}

\(x \in M\) ist Ecke, wenn aus \(x=(1-\lambda) u+\lambda v\) mit \(u, v \in M, \lambda \in (0,1)\) folgt: \( u = v = x \).

Ecke ist nicht als echte Konvexkomb. darstellbar.

\spacing

\( x \in M_N \) ist Ecke von \(M_N\) gdw. die Spalten \(\{a_{*j}\}_{j \in J_x}\) mit \(J_x = \{ j \in \{1,\dots,n\} | x_j > 0 \}\) linear unabhg. sind.

\subsubsection*{Satz zur Existenz endl. vieler Ecken in \(M_N\)}

\[ M_N \neq \emptyset \implies \exists x \in M_N : x \text{ ist Ecke} \]

Insgesamt existieren endlich viele Ecken.

\subsubsection*{Konvexkombination von Ecken}

Seien \( v^{(k)} \in M_N \) mit \(k=1,\dots,K\) Ecken von \(M_N\).

Dann \( \forall x \in M_N \exists \alpha_j \in [0,1], y \in \{ y \in \R_{\geq 0}^n | Ay = 0 \} :\)
\[ \textstyle\sum_{j=1}^K \alpha_j = 1 \land x = \sum_{j=1}^K \alpha_j v^{(j)} + y \]

\subsection*{Existenz von linearen Programmen}

Sei \( (P_N) \ \min c^\top x \) auf \( M_N = \{ x \in \R_{\geq 0}^n | Ax = b \} \neq \emptyset\).

Dann gilt entweder \(\inf (P_N) = -\infty\) oder \((P_N)\) ist mit einer Ecke von \(M_N\) lösbar.

\section*{Simplex-Algorithmus}

\subsection*{Basislösung}

\(x \in \R^n\) ist Basislösung zu \(A_N x = b_N\), wenn es \(m\)-elementige Indexmenge \(J_x\) gibt mit linear unabhg. \(\{a_{*j} | j \in J_x\}\) und \(\forall j \notin J_x : x_j = 0\).

\spacing

\(x \in M_N\) Basislösung \(\iff x\) ist Ecke von \(M_N\)

\subsection*{Phase I}

Bestimme Basislösung \(z \in M_N\) und äquivalente Darstellung \((P)\) zu \((P_N)\):

\vspace*{-2mm}
\[ (P) \ \min c^\top x \text{ auf } M = \{ x \in \R_{\geq 0}^n | Ax=b \} \]

Mit Bedingungen:

\begin{enumerate}[label=(E\arabic*)]
	\item \(a_{*j} = e_{\ell_j}\) für \(j \in J_z\)
	\item \(c_j = 0\) für \(j \in J_z\)
	\item \(b \geq 0\)
	\item \(c^\top x = c_N^\top x - c_N^\top z\) d.h. \(c^\top z = 0\)
\end{enumerate}

\subsection*{Phase II}

Seien \(z, A, b, c\) aus Phase I gegeben.

Iterativ werden nun neue Basislösungen \(\tilde z\) und Darstellungen \(\tilde A x = \tilde b\) mit Bedingungen (E1)-(E4) bestimmt s.d.: \(c^\top \tilde z \leq c^\top z = 0\)

Diese Iteration bricht ab, wenn \(\tilde z\) Lösung zu \((P_N)\) ist oder \(\inf (P_N) = -\infty\) gilt.

\subsubsection*{Algorithmus zu Phase II}

\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
	\item \(c \geq 0? \rightsquigarrow\) Abbruch denn \(z\) ist Lösung zu \((P)\) mit \(c^\top z = \eta - c_N^\top z = 0\)
	\item Wähle Pivotindex \(s \in \{1,\dots,n\}\) mit \(c_s < 0\)
	\item \(a_{*s} \leq 0? \rightsquigarrow\) Abbruch mit \(\inf (P) = -\infty\)
	\item Wähle \(r \in \{1,\dots,m\}\) s.d. Pivotelement \(a_{rs}\) mit \(\frac{b_r}{a_{rs}} = \min \left\{ \frac{b_i}{a_{is}} \middle| i \in \{1,\dots,n\} \text{ mit } a_{is} > 0 \right\}\) die Bedingung \(a_{rs} > 0\) erfüllt
	\item Gauß-Transformation zu \(\tilde A x = \tilde b\) s.d. \(r\)-ter Einheitsvektor in \(\tilde A\) in der \(s\)-ten Spalte steht
	\item Ersetze \((P)\) mit \((\tilde P)\) und wiederhole ab (1)
\end{enumerate}

\subsection*{Durchführbarkeit des Simplex-Verfahren}

Sei \((P)\) mit \(A,b,c\) und Basislsg. \(z \in M\) aus Phase I und \((\tilde P)\)  durch Phase II Schritt erzeugt. Dann:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(c \geq 0 \implies z\) ist optimal
	\item \(c_s < 0 \land a_{*s} \leq 0 \implies \inf (P) = -\infty\)
	\item \((P)\) und \((\tilde P)\) sind äquiv. mit \(\tilde c^\top x = c^\top x - c^\top \tilde z\) für \(x \in M\)
	\item \(c^\top \tilde z \leq c^\top z = 0\)
	\item \((\tilde P)\) mit Basislösung \(\tilde z\) erfüllt (E1)-(E4)
\end{enumerate}

\subsubsection*{Bestimmung von Basislösung in Phase I}

Definiere Hilfsproblem \((H) \ \min e^\top (b-Ax)\) auf \(M_H = \{ x \in \R_{\geq 0}^n | A_N x \leq b_N \}\) wobei \(e = 1 \in \R^n\).

Für das Hilfsproblem \((H)\) gelten:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item wg. \(b_N \geq 0 \implies 0 \in M_H\) ist \((H)\) zulässig
	\item \(x \in M_H \implies e^\top (b_N - A_N x) \geq 0\) \\ d.h. \((H)\) hat immer Lösung, \(\inf \ (H) > -\infty\)
	\item Mit Schlupfvariablen lässt sich Phase II auf \((H)\) direkt anwenden
\end{enumerate}

Ist \(\hat z \in M_H\) optimale Basislösung zu \((H)\) so gelten:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(e^\top (b_N - A_N \hat z) = 0 \implies \hat z\) ist zulässig zu \((P_N)\)
	\item \(e^\top (b_N - A_N x) \geq e^\top (b_N - A_N \hat z) > 0 \\ \implies M_N \neq \emptyset\) und \((P_N)\) ist nicht zulässig
\end{enumerate}

\subsubsection*{Entartete Basislösungen}

Sei \(z \in M\) eine Basislösung.

\(z \in M\) ist \emph{nicht entartet}, wenn \(z_j > 0\) für \(j \in J_z\) gilt.

\spacing

Im Simplex-Tableau ist \(z\) nicht entartet gdw. \(b_i > 0\) für \(i=