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\renewcommand{\N}{\mathcal{N}}
\newcommand{\1}{\mathbbm{1}}
\newcommand{\uiv}{\stackrel{\text{uiv}}{\sim}}
\subsection*{Normalverteilung}
Dichte der Normalverteilung \(\N(\mu, \sigma^2)\):
\[ f(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left( -\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \]
Verteilungsfkt. der Normalverteilung:
\[ \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{1}{2} t^2\right) dt \]
\subsection*{Gamma-Verteilung}
Dichte der Verteilung \(\Gamma(\alpha,\beta)\) für \(\alpha,\beta > 0\):
\[ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \exp(-\beta x) x^{\alpha-1} \1_{(0,\infty)}(x) \]
Mit Momenten:
\[ EX^r = \frac{\Gamma(\alpha + r)}{\beta^r \Gamma(\alpha)} \text{ für } r > -\alpha \]
Insb. also \(EX = \frac{\alpha}{\beta}\).
\(cX \sim \Gamma(\alpha,\frac{\beta}{c})\) für \(c > 0\) und \(X \sim \Gamma(\alpha,\beta)\).
Faltungsformel für \(X \sim \Gamma(\alpha_1,\beta), Y \sim \Gamma(\alpha_2,\beta)\):
\[ X + Y \sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \beta) \]
\subsubsection*{Gamma-Funktion}
\[ \Gamma(t) = \int_0^\infty \exp(-x) x^{t-1} dx \text{ für } t > 0 \]
Insb. \(\Gamma(t+1) = t\Gamma(t)\) und \(\Gamma(n+1) = n!\) für \(n \in \mathbb{N}_0\).
\subsection*{\(\chi^2\)-Verteilung}
Sei \(N_1,\dots,N_k \uiv \N(0,1)\).
\[ Y:=N_1^2+\dots+N_k^2 \in \chi_k^2 \]
Mit Dichte für \(y > 0\):
\[ f(y) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \exp\left(-\frac{y}{2}\right) y^{k/2-1} \]
Und Erwartungswert (\(EY^r = \infty\) für \(r\leq -k/2\)):
\[ EY^r = \frac{2^r \Gamma(r+k/2)}{\Gamma(k/2)} \text{ für } r > -\frac{k}{2} \]
Insb. also \(EY = k\) und \(VY = 2k\).
\subsection*{\(t\)-Verteilung}
Sei \(N \sim \N(0,1)\) unabhg. \(X \sim \chi_k^2\).
\[ Y := \frac{N}{\sqrt{X/k}} \sim t_k \]
Mit \(EY = 0\) für \(k \geq 2\) und \(VY=\frac{k}{k-2}\) für \(k \geq 3\).
\subsection*{\(F\)-Verteilung}
Sei \(R \sim \chi_r^2\) unabhg. \(S \sim \chi_s^2\).
\[ Y:= \frac{\frac{1}{r} R}{\frac{1}{s} S} \sim F_{r,s} \]
\subsection*{Starkes Gesetz großer Zahlen (SGGZ)}
Sei \(Y_1,Y_2,\dots\) Folge uiv. ZV mit EW, dann:
\[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \to EY_1 \ \text{(P-fast sicher)} \]
\subsection*{Zentraler Grenzwertsatz (ZGWS)}
Sei \((X_n)_{n\geq1}\) Folge uiv. ZV mit \(0 < \sigma^2 = V(X_1) < \infty\) und \(\mu = EX_1\). Dann gilt für \(-\infty \leq a < b \leq \infty\):
\[ P\left( a \leq \frac{\sqrt{n}(\overline X_n - \mu)}{\sigma} \leq b \right) \to \Phi(b) - \Phi(a) \ (n \to \infty) \]
\section*{Maximum-Likelihood-Schätzer}
Sei \(X_1, \dots, X_n\) uiv. ZV und \(\upsilon\) Modellparameter.
\[ L_x(\upsilon) = P_\upsilon(X=x) = \prod_{i=1}^n f(x_i, \upsilon) \]
Die Log-Likelihood-Funktion:
\[ \ell_x(\upsilon) := \log L_x(\upsilon) = \sum_{i=1}^n \log f(x_i, \upsilon) \]
Maximierendes \(\hat\upsilon\) ist MLS.
\subsection*{ML-Schätzer bei NV-Annahme}
Sei \(X_1, \dots, X_n \sim \N(\mu,\sigma^2)\) uiv. ZV, \(\upsilon = (\mu,\sigma^2) \in \Theta\)
\[ L_x(\upsilon) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}^n} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2 \right) \]
\[ \ell_x(\upsilon) = -\frac{n}{2} \log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i-\sigma)^2 \]
ML-Schätzer für \(\hat\mu\):
\[ \hat\mu = \overline X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \]
ML-Schätzer für \(\hat\sigma^2\):
\[ \hat\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2 \]
\section*{Momentenmethode}
Modellparam. als Fkt. der empirischen Momente:
\[ \hat m_\ell := \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j^\ell \]
z.B. Varianz als Fkt. der Momente:
\[ VX = EX^2 - (EX)^2 = \hat m_2 - (\hat m_1)^2 \]
\section*{Eigenschaften von Schätzern}
Sei \(T : \Xi \to \Sigma\) Schätzer für \(\gamma(\upsilon)\) und es gelte \(\forall \upsilon \in \Theta : E_\upsilon(T^2) < \infty\). Dann:
\begin{align*}
\text{MQA}_T(\upsilon) :&= E_\upsilon(T-\gamma(\upsilon))^2 \\
&= V_\upsilon(T) + b_T^2(\upsilon)
\end{align*}
Wobei die \emph{Verzerrung} def. ist als:
\[ b_T(\upsilon) := E_\upsilon T(X) - \gamma(\upsilon) \]
Schätzer \(T\) ist \emph{erwartungstreu} für \(\gamma(\upsilon)\), wenn:
\[ \forall \upsilon \in \Theta : E_\upsilon T(X) = \gamma(\upsilon) \]
Schätzfolge \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist \emph{konsistent}, wenn:
\[ \forall \epsilon > 0, \upsilon \in \Theta : \lim_{n\to\infty} P_\upsilon(|T_n - \gamma(\upsilon)| \geq \epsilon) = 0 \]
Schätzfolge \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist \emph{asympt.-EW-treu}, wenn:
\[ \forall \upsilon \in \Theta : \lim_{n\to\infty} E_\upsilon(T_n) = \gamma(\upsilon) \]
Ist eine Schätzfolge asympt.-EW-treu und gilt \(V_\upsilon(T_n) \to 0 \ (n\to\infty)\), so ist sie konsistent.
\subsection*{Scorefunktion}
\[U_\upsilon(X_1) := \partial_\upsilon \log f(X_1,\upsilon) \]
Diese hat EW: \(E_\upsilon(U_\upsilon(X_1)) = 0\).
\subsubsection*{Fisher-Information}
Die Varianz der Scorefunktion:
\[ I(\upsilon) = V_\upsilon(U_\upsilon) = E_\upsilon(U_\upsilon^2) = -E\left[ \partial_\upsilon^2 \log f(X_1,\upsilon) \right]\]
\subsubsection*{Score-Gleichung}
Notwendige Bedingung für ML-Schätzer \(\hat\upsilon\):
\[\sum_{i=1}^n \partial_\upsilon \log f(x_i,\upsilon) = 0 \]
Für jede konsistente Folge von Lsg. dieser Gl. gilt die Verteilungskonvergenz:
\[ \sqrt{n}(\hat\upsilon_n - \upsilon_0) \to \N(0, 1/I(\upsilon_0)) \]
\subsubsection*{Asymptotische Effizienz}
Sei \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) Schätzfolge für \(\upsilon_0\) mit:
\[\sqrt{n}(T_n - \upsilon_0) \to \N(0,\sigma^2) \]
Dann ist die \emph{asymptotische Effizienz} geg. als:
\[ e(T_n) = \frac{1/I(\upsilon_0)}{\sigma^2} \]
Schätzfolge ist \emph{asymptotisch effizient} für \(e(T_n)=1\).
\subsection*{Cram\'er-Rao-Ungleichung}
Erfüllen \(X_1,\dots,X_n \sim f(x,\upsilon)\) die Regularitätsbed.:
\begin{enumerate}
\item \(\Theta\) ist offenes Intervall in \(\R\)
\item Träger \(\{x \in \Xi | f(x,\upsilon) > 0\) unabhg. \(\upsilon\)
\item \(\forall x \in \Xi : f(x,\upsilon)\) zweimal nach \(\upsilon\) diffbar
\item \(\int f(x,\upsilon) dx\) zweimal im Int. nach \(\upsilon\) diffbar
\end{enumerate}
Sei \(T(X_1,\dots,X_n\) Schätzer für \(\gamma(\upsilon)\) mit zweimal unter Int. db. EW \(k(\upsilon) := E_\upsilon(T)\) und \(E_\upsilon(T^2) < \infty\). Dann:
\[ V_\upsilon(T) \geq \frac{(k'(\upsilon))^2}{nI(\upsilon)} \]
\subsubsection*{Cram\'er-Rao Effizienz}
Schätzer \(T\) nimmt Cram\'er-Rao-Schranke an.
\section*{Konfidenzintervalle}
Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \N(\mu,\sigma^2)\) für bekannte \(\sigma^2\):
\[ I := \left[ \overline x_n - \frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}}, \overline x_n + \frac{\sigma z_{1-\alpha/2}}{\sqrt{n}} \right] \]
Dann \(P_\mu(\mu \in I) = 1-\alpha\).
\subsection*{Konstruktionsprinzip}
\begin{enumerate}
\item Finde \emph{Pivot} ZV \(\Z\) unabhg. \(\upsilon\)
\item Bestimme \(a, b\) s.d. \(P(a \leq Z \leq b) = 1-\alpha\)
\item Löse zu gesuchtem \(g(\upsilon)\) auf
\end{enumerate}
\subsection*{Wald-Intervall}
Sei \(X_1,\dots,X_n \uiv \text{Bin}(1,p)\) und \(\hat p_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\).
Approximatives Konfidenzintervall für \(p\):
\[ \left[\hat p_n - \frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \sqrt{\hat
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